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1、例析带电粒子在复合场中的运动问题 李希花带电粒子在复合场中的运动问题是电磁场的综合问题,这类问题的显著特点是粒子的运动情况和轨迹较为复杂、抽象、 多变,因而这部分习题最能考查学生分析问题的能力。解决这类问题与解决力学题目方法类似,不同之处是多了电场力和洛 伦兹力,因此,带电粒子在复合场中的运动问题除了利用力学三大观点(动力学观点、能量观点、动量观点)来分析外,还 要注意电场和磁场对带电粒子的作用特点,如电场力做功与路径无关,洛伦兹力方向始终和运动速度方向垂直,永不做功等。例1 一个质量为m = 0.001kg、带电荷量为q = 1 x 10-3C的带正电小球和一个质量也为不带电的小球相距L二0
2、.2m,放在绝缘光滑水平面上,当加上如图1所示的匀强电场和匀强磁场后,(E二1 x 103N/C,B二0.5T )带电小球开始运动与不带电小球相碰,并粘在一起,合为一体,1)两球碰后速度多大?图1(2)两球碰后到两球离开水平面,还要前进多远? (g = 10m/s2)解析 带电小球在电场力作用下加速运动,与不带电的小球碰撞两球合为一体,碰撞前小球的速度可以用动能定理求 出,电场力的功等于小球动能的增量;也可以利用牛顿第二定律和运动学公式求出。两球碰撞过程虽然系统受电场力,但 比起两球碰撞的作用力小得多,碰撞时间又很短,可认为动量守恒,两球碰撞后速度继续增大,增大到某一数值洛伦兹力 与重力平衡,
3、两球离开水平面,应该注意,碰撞后与碰撞前应用动能定理的研究对象不同。1(1)两球碰撞前由动能定理:EqL = mv221所以v1_ 2EqL _ :2 x 103 x 10-3 x 0.20.001=20m / s两球碰撞动量守恒:处广2mv2,2)两球离开水平面时,对水平面无压力,即洛伦兹力与重力平衡, qBv3 = 2mg所以 v32mgqB2 x 0.001 x 100.5 x 10 -3=40m/s 。碰后到两球离开水平面,由动能定理:-2mv2 - 2mv2 = EqS。2 3 2 2S=mv2 一 v2Eq 0.001 x (402 102)32Eq103 x 10-3=1.5m。
4、例2如图2所示,有一半径为R的圆柱绕竖直轴OO以角速度匀速转动,在圆柱体的左侧有一水平向右的匀强电 场E。今有一质量为m带正电q的小物体贴在圆柱面上,为使物体沿圆柱面竖直方向以速度v匀速下滑,需加一个匀强磁场,且物体所受的洛伦兹力、重力及摩擦力在一个平面内,此磁场的磁感应强度B最小为多少?方 向如何?物体与圆柱面间的动摩擦系数为多少?解析 电场力只对m垂直于圆切面的压力,对m的运动没有直接影响。为使物体m沿圆柱面 竖直匀速下滑,在圆柱面垂直电场的平面内,m受重力mg、摩擦力f和洛伦兹力F作用而平衡。此过程中,物体却随圆柱一起以速度R转动,又要相对圆柱以速度U斜向下滑,竖直向下的运动速度v是上述
5、两个运动的合速度,而洛伦兹力与合运动垂直,即沿水平方向;摩擦力与相对运图2动方向相反,即斜向上,如图3 所示。因速度三角形与力的三角形相似,对应边成比例“=v,且F = -qv,得-=叱R。 F Rqv 2方向沿水平且与圆柱转向相反,又因 f = (mg )2 + (-qv)2,且f = pN =卩Eq。所以卩=(mg)2 + (-qv)2。Eq说明:解此题的关键是空间想象要清楚。一是将物体的空间受力转化为垂直于电场沿圆柱切面的平面受力;另一个是 对物体运动情况的想象,只有弄清物体相对圆柱的相对运动方向,才能确定摩擦力方向是斜向上而不是竖直向上,这是难 度最大之处,而洛伦兹力永远和物体运动方向
6、垂直,即沿水平方向。例3如图4所示,质量为m、电量为q的带正电粒子,以初速度v垂直射入相互正交的匀强电场和匀强磁场-,从P点离开该区域的速率为v,此时侧移量为S,下列说法中正确的是()PA. 在P点带电粒子所受磁场力有可能比电场力大B. 带电粒子的加速度大小恒为q-v0 - qmIC. 带电粒子到达P点的速度v =2 + 2qESP 0mD. 带电粒子到达P点的速率v = ,v2 -垄竺P V 0m图4解析 带电粒子进入电场时,受到的电场力F = Eq竖直向上,受到磁场力F = -qv竖直向下,由于这时F F ,E-E -粒子向上偏转且能从P点射出;但粒子在侧移过程中,电场力对其做正功,其速度
7、v不断增大,F亦随之增大,故到达P-点时有可能使F F,选项A正确。-E带电粒子进入该区域后,速度增大,且fb、fe通常亦不在同一直线上,加速度a除进入瞬间为外,其他各处均不为该值,选项B错。由于粒子在正交电、磁场中受洛伦兹力和电场力不相互平衡,做变加速运动,其轨迹既非圆弧,亦非抛物线,不能用匀变速运动有关干什么求解V,可考虑用动能定理求解, P因为在以上过程中洛伦兹力对带电粒子不做功, 电场力对其做正功, 则有Bx-xxfqBS = mv2 - mv2,所以v = Jv2 + 2qES,故选项C正确,选项D错误。2 p 20P 0 m答案:A、C。当粒子所受电场力和洛伦兹力的合力不为零时,粒
8、子做曲线运动,这时其轨道既非圆U (103)/VA1.5 -11_11_11_1I I I I I I I02 4 6t (10 -4)/s弧、亦非抛物线,属变加速曲线运动,不能用匀变速运动或圆周运动等规律解答有关问题,图 5可考虑用能量或动量解答。2j 一 wwwjc5000conn ”例4如图5所示,两块水平放置的金属板长为L = 140m,间距为d = 30cm,两板间有B = 1.25T方向垂直纸面向里 的匀强磁场和图示的脉动电压,当 t = 0时,质量为m = 2.00x 10-15kg,电量为q = 1.00x 10-10C的正粒子,以速度v = 4.00x 103m/s从两板中央
9、水平射入,不计重力,试分析:0(1)粒子在两板间如何运动?会不会碰到极板上?(2)粒子在两板间的运动时间是多少?解析(1) t = 0 10-4s 内,粒子同时受到方向相反的电场力和洛伦兹力的作用,大小分别为F = qE = q = 5 x 10 - N ;df =Bqv=5x10-7N 。0因为F = f,所以粒子做匀速直线运动相应的位移为L0= v0r = 04m。在1O-4S2X1O-4S内无电场,粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,轨道半径为mvr =0 = 6.4 x 10 - 2 m E = E 。kA kN kC(3)第 3 次电子从 C 点射出时,轨迹为圆弧示意图如图 8 所示
10、,由几何关系可得 R2 = (R d2)2 +12,解得d2 = 4(cm)。故 A C 间距 d = d + d = 7.2(cm)12 说明:对于有界匀强电场和有界磁场问题,要特别注意电偏转和磁偏转的不同。例 6 竖直平面里的平面直角坐标系, Ox 轴与水平向左的匀强电场方向相同, Oy 轴竖直向上,匀强磁场垂直于Oxy平面向里(如图9所示),E = 10打N/C,B = 1.0T。一个质量为 m = 2.0x 10-6kg,带电量为q = +2.0 x 10-6C的质点,恰好在Oxy平面中做匀速直线运动,试分析计算:(1)带电质点的速度大小和方向。(2)带电质点运动中恰好通过坐标原点时,
11、突然撤去磁场,经过一段时间它从Ox轴上+yX X AxBx XX X XX X OX X X XXXX X羊的A点经过,带电质点由O到A运动时间多长? OA距离多大?解析 (1)带电质点在Oxy平面中做匀速直线运动时,受水平向右的电场力(qE )、竖 直向下的重力(mg )和洛伦兹力(Bqv )作用;合力为零。电场力qE = 2;3 x 10-3 N,重力 mg = 2x 10-5N ;它们的合力 F = :(qE)2 + (mg)2 = 4x 10-5N (如图 10),F 与水平方向夹 30 角,斜向下;洛伦兹力(f = Bqv )与F大小相等、方向相反(Bqv = F ),可知带电质点的速图9F度大小为v = - = 20m/s。速度方向与Ox轴夹角为602)带电质点通过坐标原点时开始计时,磁场撤消后带电质点的运动,是水平方向(即Ox 方向)上初速度为v = vcos60。,加速度为的匀加速运动与竖直方向(即 Oy方向)上初速度为xomv = vsin60的竖直上抛运动的合运动。由于A点与0点处在同一水平线上,所以由0到 yoA的运动时间由竖直方向上的运动决定:t = 2(=0) = 2j3s。g1OA之间的距离,即A点在Ox轴上的坐标由水平方向上的运动决定:x = v t + at2。 xo 2 加速度a =必=2、:3