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1、垂径定理(第一课时)教学设计蒲英杰【教学内容】24.1.2垂径定理(初三几何课本P80P81)【教学目标】1知识目标:通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性; 掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题; 掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。2能力目标:通过定理探究,培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力; 向学生渗透“由特殊到一般,再由一般到特殊”的基本思想方法。3情感目标:结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透; 激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的证明。【教学方法】探究发现法。【教具准备】自制的
2、教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。【教学设计】一、实例导入,激疑引趣 1实例:同学们都学过中国石拱桥这篇课文(初二语文第三册第一课茅以升),其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥(如图)。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县(古称赵州)而得名,是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥,距今已有1400多年历史,被誉为“华北四宝之一”,它的结构是当时世界桥梁界的首创,这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。2导入:赵州桥的桥拱呈圆弧形的(如图1),它的跨度(弧所对的弦长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦AB的距离,也叫弓高)为7.2米。请问:桥拱的半径(即AB所在圆的半径)是多少?通
3、过本节课的学习,我们将能很容易解决这一问题。 (图1)二、尝试诱导,发现定理 1复习过渡: 如图2(a),弦AB将O分成几部分?各部分的名称是什么? 如图2(b),将弦AB变成直径,O被分成的两部分各叫什么?E 在图2(b)中,若将O沿直径AB对折,两部分是否重合? (a) (b) (a) (b) (c) (图2) (图3)2实验验证:让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折,观察两部分是否重合;教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴。3运动变换:如图3(a),AB、CD是O的两条直径,图中有哪些相等的线段和相
4、等的弧?如图3(b),当ABCD时,图中又有哪些相等的线段和相等的弧?如图3(c),当AB向下平移,变成非直径的弦时,图中还有哪些相等的线段和相等的弧?此外,还有其他的相等关系吗?4提出猜想:根据以上的研究和图3(c),我们可以大胆提出这样的猜想 (板书) 5验证猜想:教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折,这条特殊直径两侧的图形能够完全重合,并给这条特殊的直径命名为垂直于弦的直径。三、引导探究,证明定理1引导证明:猜想是否正确,还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。证明“AE=BE”,可通过连结OA、OB来实现,利用等腰三角形性质证明。 证明“弧相等”,就是要证明它们“能够完
5、全重合”,可利用圆的对称性证明。2归纳定理:根据上面的证明,请学生自己用文字语文进行归纳,并将其命名为“垂径定理”。垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。3巩固定理:在下列图形(如图4(a)(d))中,AB是O的弦,CD是O的弦,它们是否适用于“垂径定理”?若不适用,说明理由;若适用,能得到什么结论。(a)ABCD于E (b)E是AB中点 (c)OCAB于E (d)OEAB于E(图4) 向学生强调:(1)定理中的两个条件缺一不可;(2)定理的变式图形。四、例题示范,变式练习1运用定理进行计算。例1如图5,在O中,若弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求O的半径。
6、分析:因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”,所以要作辅助线OEAB;因为要求半径,所以还要连结OA。 解:(略)学生口述,教师板书。 (图5)变式一在图5中,若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= 。思考一:若圆的半径为R,一条弦长为a,圆心到弦的距离为d, 则R、a、d三者之间的关系式是 。变式二如图6,在O中,半径OCAB,垂足为E, 若CE=2cm,AB=8cm,则O的半径= 。 (图6)思考二:你能解决本课一开始提出的问题吗?(由学生口述方法)2运用定理进行证明例2已知:如图7,在以O为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证:ACBD。 (图7)分析:证明
7、两条线段相等,最常用的方法是什么?用这种方法怎样证明? (证明OACOBD或证明OADOBC) 此外,还有更简捷的证明方法吗?若有,又怎样证明?(垂径定理) 证法一:连结OA、OB、OC、OD,用“三角形全等”证明。证法二:过点O作OEAB于E,用“垂径定理”证明。(详见课本P77例2)注1:通过两种证明方法的比较,选择最优证法。注2:辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键,也是常用辅助线。思考:在图7中,若AC=2,AB=10,则圆环的面积是 。变式一若将图7中的大圆隐去,还需什么条件, 才能保证AC=BD?变式二若将图7中的小圆隐去,还需什么条件, 才能保证AC=BD?变式三将图7
8、变成图8(三个同心圆),你可以 证明哪些线段相等? (图8)例3(选讲)如图9,RtABC中,ACB90,AC3,BC,以C为圆心、CA长为半径画弧,交斜边AB于D,求AD的长。(答案:2)略解:过点C作CEAB于E,先用勾股定理求得 (图9)AB=9,再用面积法求得CE=,最后用勾股定理求得AE=1,由垂径定理得AD=2。五、师生小结,纳入系统1定理的三种基本图形如图10、11、12。2计算中三个量的关系如图13,。3证明中常用的辅助线过圆心作弦的垂线段。(图10) (图11) (图12) (图13)六、达标检测,反馈效果 1(课本P78练习第1题)如图14,在O的半径为50mm,弦AB=50mm,则点O到AB的距离为 ,AOB 度。2作图题:经过已知O内的已知点A作弦,使它以点A为中点(如图15)。3课本P78练习第2题。 (图14) (图15)课 堂 练 习 姓名 得分 1 如图,O的半径为50mm,弦AB=50mm,则点O到AB的距离为 ,AOB 度。 (第1题) (第2题)2作图题:经过已知O内的已知点A作弦,使它以点A为中点(如图)。 要求:保留作图痕迹,但不必写作法。 3已知:如图,在O中,AB、AC是两条互相垂直且相等的弦,ODAB,OEAC,垂足分别为D、E。求证:四边形ADOE是正方形。 (第3题)