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1、- 二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上*=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下*=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大
2、；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上*=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下*=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的根底上值正右移，负左移；值正上移，负下移概括成八个字左加右减，上加下减方法二：沿轴平移:向上下平移个单位，变成或沿轴平移：向左右平移个单位，变成或三、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
3、，其中四、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，假设与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.五、二次函数的性质 1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值六、二次函数解析式的表示方法1
4、. 一般式：，为常数，；2. 顶点式：，为常数，；3. 两根式：，是抛物线与轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数 在
5、二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是左同右异总结： 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标
6、为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，则这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；3. 抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式八、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得
7、到的解析式是； 2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线或表达式的抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后
8、再写出其对称抛物线的表达式二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数的图象【解】以为中间值，取的一些值，列表如下：-7-6-5-4-3-2-10-20【例2】求作函数的图象。【解】先画出图角在对称轴的右边局部，列表-2-101276543【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左右边局部图象，再利用对称性描出右左局部就可。二、一元二次函数性质【例3】求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。【解】 由配方结果可知：顶点坐标为，对称轴为；当时， 函数在区间上是减函数，在区间上
9、是增函数。【例4】求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值。，函数图象的顶点坐标为，对称轴为当时，函数取得最大值 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1) 配方法；如例3(2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可防止出错。任何一个函数都可配方成如下形式：【二次函数题型总结】1.关于二次函数的概念例1 如果函数是二次函数，则m的值为。例2 抛物线的开口方向是；对称轴是；顶点为。-1O*=1Y*2.关于二次函数的性质及图象例3 函数的图象如下列图，则a、b、c，的符号为，例4 abc=0 9a3b
10、c=0,则二次函数y=a*2b*c的图像的顶点可能在 （A） 第一或第二象限 B第三或第四象限 C第一或第四象限 D第二或第三象限3o-13y*3.确定二次函数的解析式例5 ：函数的图象如图：则函数解析式为 A BC D4.一次函数图像与二次函数图像综合考察例6 一次函数y=a*+c二次函数y=a*2+b*+c(a0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).例7 如图：ABC是边长为4的等边三角形，AB在*轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A的坐标为-1，01求 B、C、D三点的坐标；2抛物线经过B、C、D三点，求它的解析式；【练习题】一、选择题1. 二次函数的顶点坐标是( )A.(
11、2,11) B.2，7 C.2，11 D. 2，32. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是 A. B. C. D.3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.二次函数的图象如下列图,则以下结论: a,b同号;当和时,函数值相等;当时,的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个5.二次函数的顶点坐标-1，-3.2及局部图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是. B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 二次函数的图象如下列图，则点在A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程的正根的个数为 A.0个 B.1个 C.2
12、个. 3 个8.抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. B.C.或 D.或二、填空题9二次函数的对称轴是，则_。10抛物线y=-2*+3+5，如果y随*的增大而减小，则*的取值范围是_.11一个函数具有以下性质：图象过点1，2，当0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是只写一个即可。12抛物线的顶点为C，直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c=。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线
13、段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是(取3.14).三、解答题：第15题图15.二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).(1)求这个二次函数的解析式;(2)当*为何值时,这个函数的函数值为0(3)当*在什么范围内变化时,这个函数的函数值随*的增大而增大16.*种爆竹点燃后，其上升高度h米和时间t秒符合关系式 0t2，其中重力加速度g以10米/秒2计算这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，1这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？2在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.1求此抛物线的解析式；2点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。一，选择题、1A 2C 3A 4B 5D 6B
