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1、多元函数重积分复习一、客观题：1 .判断1) .已知 f(a,b)存在，则 1而 f(a x,b) f(a xb) 2fx(a,b)( V )xx 0x2) .若二元函数zf (x, y)在点P(x0, y0)的两个偏导数存在，则 z f (x.y)在点P(x0, y0)可 微(x )3) .若二元函数zf (x, y)在点P(x0, y0)不可微，则z f (x.y)在点P(x0, y0)的两个偏导数,不存在。( x )x y4) .若二元函数z f(x.y)在点P(x0, y0)的两个偏导数不连续，则z f(x,y)在点P(x0, y0)不可微.数-z,-z不存在。 x y2.选择题1)
2、.函数f (x, y)在(x0, yj处可微分，是f (x, y)在(x0, y0)处连续的条件.既充分又必要条件既非充分又非必要条件在点(x0,y0)取得极值的充分条件既非充分又非必要条件A.充分条件B.C.必要条件D.答案：A2) . f(x 0,y0)=0,f(x 0,y 0)=0是函数 f(x,y)A. 必要条件B.C.充分必要条件D.答案：D3) .设函数 z f(x,y)在(0,0)处存在偏导数,且 fx(0,0) 0, fy(0,0) 3 f(0,0) 0,那么。A. lim f (x, y)必定存在B. f(x,y)在(0, 0)处必连续x 0 y 0C. dz 0D.若 li
3、m f(x, y) 0,则dz 0x 022y 0 x y答案：D4).设f (x, y)为连续函数，则04f (r cos,r sin)rdr等于(二2 dx0J1 x2f (x, y)dy.x二2 dx01 x20 f (x, y)dy.202 dyry7y f (x, y)dx._20Tdy1 y20 f (x, y)dx.答案C5.)设区域D(x, y)x22a ,y0 ,(a0). xydxdy (DaJaa2x2xydy0B.0 .adxaxydya . adx0xydy3r cossin)drD.a3r cos sin0dra3r cos0sin dr答案6.)D(x, y)R2
4、,y0卜列积分值()为零.A.C.2 .yx dD(x2 y2)dDBB.D.3.填空题1).设 f (x, y) x2 cosQy)(y2).交换积分顺序12 y2dy f (x, y)dx =0 y2 . xy dD(x y)dD.2x(x,1)2 y2dy f (x, y)dx 0 y1x2dx f (x,y)dy0022 x2dx1f(x,y)dy03)若z Jy f(Tx 1)如果当y 1时，zx,则f(x)z(x,y)的表达式分别为答案 f (x) x(x 2),z(x,y) 、v x 14)设由F(x, y, z)制定了二元函数 z f(x, y),且已知-Fx(i,i,i)1,
5、y(i,i,i)2,(1,1,1)2解:1 x y 0x 2y 1 0D (x, y)x y 1 且x 2y 1例 2 求 z ln( y x)=:的定义域1 x2 y21, 则 x (1,1,1)求多元函数的定义域 例1 求z *Xy Jx 2y 1的定义域y x 0y x解：x,y须满足x 0x 0/22c221 x y 0 x y 1三多元函数的偏导数1 .多元函数偏导数的定义2 .多元函数偏导数的计算(1)由偏导数的定义可知，求偏导数仍是求一元函数的导数问题，即ddfx(x, y) 一 f (x, y)(这时 y不变)；fy(x, y) 一 f (x, y)(这时 x不变) dxdy(
6、2)求函数偏导数时，一般用一元函数的求导公式和求导法则。(3)求函数在一点的偏导数时，有三种方法：一是求偏导函数再代值；二是用公式fx(x0,y)df (x,y0)dxdf(x0, y) xx0, fy(x,y0)三是用偏导数的定义。(4)求分段函数在分段点处的导数用偏导数定义(5)抽象函数偏导数的计算(6)隐函数偏导数的计算例1设z f (x, y) x3 2x2y y3,求z f (x, y)在点(1, 3)处关于x和y的偏导数。解1:由二元函数在一点的偏导数的定义fx(1,3) limnx 0f(1x,3) f(1,3)333(1 x) 2(1x)2g3 31 2g3 3lim x 0x
7、lm(3 10x)2 12 6.0x 15解2:由二元函数偏导数和单变量函数导数的关系可得f df(x,3)x 1； x 1x y 3 dx同理：fy(1,3) 1，3 (1 2y y3)y3 25dy dy解3:由偏导函数和偏导数的关系fx(x, y) 3x2 4xy, fy (x, y) 2x2 3y2代入有 fx(1,3) 15, fy(1,3)25例 2 设 zxln ysin , ,x x y解:Xtx求偏导数，视y为常量，xlny是幕函数ln y一 x x.y sin xln y x.y sin xlny 1 ln y xsin - xln y xcos xln y 1x ln y
8、sin - xy ln y-x xcos x对y求偏导数，视x为常量,ln xln y xln y xIn yln y xy例3求函数sin y xxy.y sin xln yyln y xln y 1 xsin y xcos?1 x xy cos.x22xy022xy0xy f(x,y)x -2 _2、，2 _2 _22xe 2ze 2xsin y x z x y20在（0, 0）处的偏导数解：由于是分段点，用定义讨论fx(0,0)limf(0x，0) f(0，0)0x 0x同理fy（0,0） 0。但该函数在（0, 0）点不连续，这是因偏导数只是刻画了沿着平行于x轴或y轴方向变化的情形注意：
9、该函数在（0,0）点不连续 例4求下列函数的全微分(1) z xlny，求dz(i,e),且dx 0.1,dy 1;(2)设z arcsin?,求全微分dzx解：(1)由全微分的定义 dz dx dy ln y xlny1dx ln x xlny - dy ,代入 x yydx 0.1,dy 1 有dz (1,e)0.1.dx 0.1,dy 1- _y x x. x2 y2 y x ., x2 y2于是dz-=yx、x2=dx2y1dy22x x y解:2x(12 . 2、x2 y22x sin y)e4 2z sin y例 5 设 u f (x, y, z) ex y z ,而zx2 sin
10、 y,求一u 和一ux yuffzc x2 y2 z2c x2 y2z222ye 2ze x cosy yyzy2(y4x2x sin y cosy)e24 -2y z sin y例6设w f(x yz,xyz), f具有二阶连续偏导数，求 、及 x解： 令u x yz, v xyz,贝1J wf(u,v)因所给函数由wf(u,v)及 uxy z,v xyz复合而成，根据复合函数求导法则，有f1yzf2丁1yzf2)士 yf2 zf2yz z求工及z应注意f；及f2仍旧是复合函数，根据复合函数求导法则，有f1z f2zf1 uuf2f1 vv zf11f21于是f11xyf12yf2yzf2i
11、fny(x z)f12xyfi2xyf22xy2zf222xy zf22yf2例 7 求方程 2xz 2xyz ln(xyz)0确定的隐函数z f(x, y)在点(1,1)处的全微分。解1：由隐函数求导公式，令 F(x,y,z)= 2xz 2xyz ln(xyz),则Fx-11 2z 2yz , Fy x-1 八2xz , Fz 2xy所以dzFxFz2z 2yz2x 2xy1 x1 zFyFzz .dx x-dyy2z2yzc 12xz 一y_-112x 2xy 一 z2xz 12xx dx2xy 一 z2x、dy.2xy - z代入点(1,1)得dz dx dy.解2:方程两边同时求微分2
12、(xdz zdx) 2(xydz xzdy1yzdX)(xydz xzdy yzdx) xyz解出 dz有dz -zdx dy x y代入点(1,1)得dz dx dy.112z 2yz2xz x dx y dy.11 32x 2xy 2x 2xy - zz例8设x2 z2 y (三),其中函数可微，求,.yx y解1.由隐函数求导公式，令F(x,y,z) x2 z2 y岛，则z.yzzzyyy-2z yyFx 2x,Fy- - ,Fz 2zy y y所以=FA2x，二五x Fz zyFz-2z.y解2:将方程x2 z2 y (W)中的z看作x,y的函数，方程两边分别对x,y求偏导 y2z,(-)2xy_z_z_zyyy-2zy数得2x 2z- y () (),解出x y y yxz y - z2z(z)(z) y，解出-zy y y yy解3:由微分形式不变性，将方程两边同时求微分得zz. ydz zdy2xdx 2zdz ()dy y ()工2-yy y整理有dz2xdxy y y .dy所以二 xFxz 2z. y2xz 2z. y yFyFz2zy y-2z y以上三种方法是求隐函数偏导数的常用方法。 练习：1.设z
