《平面解析几何硬解方法及便捷规律》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面解析几何硬解方法及便捷规律（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面解析几何1.锥曲线对比表2.硬解定理内容3. 结论与推论第一部分锥曲线对比表圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x2 /a2 +y2 /b2 =1 (ab0)x2 /a2 -y2 /b2 =1 (aO,bO)y2 =2px (pO)范围x -a,a yW -b,bx (-8, -a Ua,+8)yRxO,+8)yR对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,O),(a,O),(O,b),(O,b)(a,O),(-a,O)(O,O)隹占八、八、(c,O),(-c,O)【其中c2 =a2 -b2】(c,O),(-c,O)【其中c2 =a2 +b2】(p/2,O)准线
2、x=a2 /cx=a2 /cx=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e(O,1)e=c/a,e(1,+8)e=1焦半径| PF| =a+ex1 PF21 =a-ex|PFi |=| ex+a |1 PF21=1 ex-a |I PF | =x+p/2焦准距p=b2 /cp=b2 /cp通径2b2 /a2b2 /a2p参数方程x=acos6y=bsin6,e为参数x=asec6y=b tan6,e为参数x=2pt2y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点(xO,yO)的切线方程xOx/a2 +yOy/b2 =1xOx/a2 -yOy/b? =1yOy=p(x+xO)斜率为k的切线方程y=
3、kxV(a2 k? +b?)y=kxV(a2 k? -b?)y=kx+p/2k第一部分硬解定理内容CGY-EH 定理（锥曲线硬解定理）x2 y2若曲线,:与直线Ax+By+C=O相交于E、F两点，则:-2ACm龙1十龙2二 m(C2-B2n)勒苞=其中 为一与同号的值，定理说明应用该定理于椭圆； 时,应将 Si 代入。2 ,2应用于双曲线 7K = J时应将讦;:二士 代入同时ur不应为零，即E不为零。求解y1+y2与y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换可知E与的值不会因此而改变。定理补充联立曲线方程与y=kx+ :是现行高考中比联立” Ax+By+C=O“更为普遍的现象。其中联立后
4、的二次方程是标准答案中必不可 少的一项，x1+x2, x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。 这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。若曲线 ：与直线y二kx+ .相交于E、F两点，则：血二4幣H （料+用以一甲2 ）这里的、既可以是常数，也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出：若曲线 为椭圆，则也二0叫以+屛）X2 V2X2 V2若曲线1:为双曲线.- /，则a二必咛俨-FH+严）由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需 要考生自己填写）：联立两方程得（二次式子）（
5、*）所以x1+x2二，x1x2二；所以|x1-x2|二丁（x1+x2）八2-4x1x2二（此时代入、式得到一个大式子，但不必化简）化简得|x1-x2|=|科斗岗呵（偷偷地直接套公式，不必真化简）下面就可求弦长 二1 -卜-门-工? 了。定理简证设曲线x2/m+y2/n=1与直线Ax+By+C=0相交于E、F两点,联立式可得最终的二次方程：（A八2 m+B八2 n） x八2+2ACmx+C八2 m-mnB八2二0应用韦达定理，可得：x_1+x_2=（-2ACm）/（A八2 m+B八2 n）x_1 x_2=（m（C2-B八2 n）/（A八2 m+B八2 n） =4mnB八2（-旷2）对于等价的一元
6、二次方程的数值不唯一，且的意义仅在于其与零的关系，故由4B20恒成立， 则可取与同号的厶二mn（ -C八2）作为的值。由 |EF| 二丁（x_1-x_2）八2+ （y_1-y_2） 2） = V（1+A2/B八2 ）（x_1+x_2）八2-4x_1 x_2 ）可得 |EF|二丁（A八2+B八2）4mn（A八2 m+B八2 n-C2）/（|A八2 m+B八2 n|）令e=A2 m+B八2 n则得到CGY-EH定理：x_1+x_2=（-2ACm）/s; x_1 x_2=（m（C八2-B八2 n）/s; 二mn（ -C八2）;|EF| = （2V（A八2+B八2）4 ）/（|e|）第一部分 结论与推
7、论一、椭圆的常用结论：1点P处的切线PT平分APF1F2在点P处的外角.2. PT平分APF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若p (x ,y)在椭圆乂+22二1上，则过p的椭圆的切线方程是潭+卑=1. 0 0 0a2 b20a2b26. 若p(x ,y)在椭圆乂+22二1外，则过p作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦P P的直线方程是0 0 0a 2 b20 1 2 1 2xxy y 1a 2 b27. 椭圆乂 + 22二
8、1 (ab0)的左右焦点分别为F, F ,点P为椭圆上任意一点则椭圆的焦a 2 b21 2 1 2点角形的面积为AF!PF228. 椭圆乂 +兰二1 (ab0)的焦半径公式 I MF I二 a + ex，丨 MF I二 a - ex ( F (c,0) ，F (c,0) M (x , y )a 2 b21020 120 09. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相 应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF丄NF.10-过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,、A?为椭圆长轴上的顶点，Af和A?。交于点M, AP和AQ交于点N,则MF丄NF
9、.11.b2x0- a2y021AB是椭圆乂 + 2二1的不平行于对称轴的弦，M(x ,y)为AB的中点，则k k =-b2，即Ka 2 b20 0OM ABa 2AB12.若P(x ,y)在椭圆乂 + 22二1内，则被Po所平分的中点弦的方程是孚+寻二+厶2 ；0 0 0a2 b2a2 b2 a2 b2【推论】：1、若p(x ,y)在椭圆兰+ 22二1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是乂 + 22二和+。椭圆兰+ 21二1 (a 0 0 0a2 b2a2 b2 a2 b2a2 b2bo)的两个顶点为A (-a,0) , A (a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P P时AP与AP交点的轨迹方程是
10、1 2 1、 2 1 1 2 2x 2a2b22、过椭圆兰+兰二1 (a0, b0) 上任一点A(x ,y )任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B, C两点， a 2 b20 0则直线BC有定向且k二也(常数).bc a 2 y03、若P为椭圆兰+ 22 = i (ab0)上异于长轴端点的任一点,F, F是焦点 ，ZPFF =a， ZPFF 二 P，a 2 b 212122 1则 a -c t a t P=tan co t a+c 224、设椭圆二+占=1(ab0)的两个焦点为* F2，p(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在山审中，记ZFPF =a，ZPFF = P，ZFFP =,1 21 2
11、1 2sin P + sin y a5、若椭圆兰+ 22 = 1 (ab0)的左、右焦点分别为F、F ,左准线为L,则当0VeW/i-1时，可在a 2 b 212椭圆上求一点P,使得PF是P到对应准线距离d与PF的比例中项.126、P为椭圆兰+ 22 = 1 (ab0) 上任一点,F,F为二焦点，A为椭圆内一定点，贝Ia2 b21 22a-1 AF 11 PA I + I PF l (Ax + By + C)2 -11+IOP |2 I OQ |21 1 ;+ ;a2b2a2b20 08、已知椭圆兰+ 22 = i(ab0),为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点，且op丄oq-a2 b2(2)|0
12、P|2+|0Q|2的最大值为主竺;(3) S的最小值是上空a 2 + b 2aopqa 2 + b 29、过椭圆乂 + 22 = 1 (ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M, N两点，弦MN的垂直平分线交xa2 b2轴于P,则1PFL =.I MN I 210、已知椭圆兰+ 21 = 1 ( ab0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于a2 b2点 p (x ,0),贝 L x b0) 上异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点记则a2 b21 2 1 2(1) I PF II PF I=型.(2) S= b2 tan -121 + cos 9apff2212、设A、B是
13、椭圆x2 + y2 =1 ( ab0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点 ， ZPAB = a , ZPBA= P , ZBPA = y ， a2 b22a2b2.S =cot y -aPAB b2 - a2c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) I pa i= 2ab2Icos a I .(2) tan a tan P =1-e2. (3)a2 -c2cos2y13、已知椭圆乂 + 21 = 1 ( ab0)的右准线1与x轴相交于点e，过椭圆右焦点f的直线与椭圆相交a2 b2于A、B两点，点c在右准线 1上，且BC丄x 轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16、椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与
