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1、一、若设在疾病传播期内所考察地区的总人口数为，时刻易感染者和已感染者两类人在总人口数中所占的比例分别为和，每个病人每天有效接触的平均人数是常数，试建立传染病模型中的SI模型。（15分）图3解：由题意可知 （4分）令图4则有 （4分）解得： （4分）其关系式图（如图3、图4） （3分）二、设渔场鱼量的自然增长服从Gompertz模型，又单位时间捕捞量为，讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平。（15分）解：设时刻渔场中鱼量为，由已知得：（1） 鱼量的自然增长服从Gompertz规律，即 （2分）其中为固有增长率，为环境容许的最大鱼量。（2） 单位时间
2、的捕捞量与渔场鱼量成正比，即，（其中比例系数为单位时间捕捞率） （2分） 从而，在有捕捞的条件下，有以下的方程 （2分）令，即，也即图4解得两个平衡点所以点稳定，点不稳定。（2分）图: (4分)由图4可知，当相交时可获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为且单位时间的最大持续产量和捕捞率为： （3分）三、已知某渔场在无捕捞条件下，鱼量的自然增长服从Logistic规律，若在有捕捞的条件下，单位时间的捕捞量与渔场鱼量成正比，试建立捕鱼业的持续收获中的产量模型.（15分）解：设时刻渔场中鱼量为，由已知得：（3） 鱼量的增长服从Logistic规律，即 (2分)其中为固有增长率，为环境容许的最大鱼量。（4） 单位时间的捕捞量与渔场鱼量成正比，即，（其中比例系数为单位时间捕捞率） (2分)从而，在有捕捞的条件下，有以下的方程 (2分)令，即，也即解得两个平衡点图: (4分)所以若，有，故点稳定，点不稳定；若，则结果正好相反。 （2分）由图2可知，当相交时可获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为且单位时间的最大持续产量和捕捞率为即使渔场鱼量保持在最大鱼量N的一半时，能够获得最大的持续产量。 （3分）四、求差分方程的解. （15分）解：令 （2分）则有 （1）从而得 （3分）由（1）式的特征方程从而 （2） （3） （4分）把代入（3）式得解得 （4分） （2分）
