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1、高中数学抛物线练习题、选择题:1.（浙江）函数y= ax2+1的图象与直线y= x相切，则a=（11(A) 8 4(C) 12(D)12.（上海）过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线（A.有且仅有一条2.3.抛物线x 4y上一点（A） 2B.有且仅有两条A的纵坐标为4,则点（B） 3C.有无穷多条D.不存在A与抛物线焦点的距离为（）(C) 4(D) 54.（辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为 该双曲线与抛物线y2 4x的交点到原点的距离是3 .若它的一条准线与抛物线y2 4x的准线重合，则（ ）B. J21C.18 12.2D.
2、 215 .（江苏卷）抛物线17（A ）162 .y=4x上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是15166 .（湖北卷）双曲线1(mn0）离心率为2,有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则 mn的值为A. AB. 3二、填空题:7 .顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是8 .若抛物线y2x m的焦点在x轴上，则m的值是9 .过（一1, 2）作直线与抛物线 y2 4x只有一个公共点，则该直线的斜率为_2 .10 .抛物线y 2x为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是三、解答题:11 .（江西卷）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且M
3、A=MB.（1）若M为定点,（2）若M为动点,证明：直线 EF的斜率为定值；且/ EMF=90 ,求 EMF的重心 G的轨迹12 .（上海）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题?茜分6分，第3小题满分6分.已知抛物线y2=2px(p0) 的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴 ,垂足为 B,OB 的中点为 M.(1) 求抛物线方程;(2)过M作MN FA,垂足为N,求点N的坐标；以M为圆心，MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时，丫讨论直线AK与圆M的位置关系.当 mo)则直线MF的斜率为
4、一k,方程为y y0k(x y2).y. .2yyok(xyo),消 x得 ky2yyo(1kyo)0解得yFky0Xf(1kyo)2 k11 kyo1 kyo, yE yFkEF XeXf(1 kyo)2 (1 kyo)2k2k22k_ 4kyo k21一，(定值)所以直线EF的斜率为定值 2yo(2)当 EMF90o时，MAB 45o,所以k 1,直线ME的方程为yyo k(x y2)yo2yo 得 E(12 ,、yo) ,1yo)同理可得F(1yo)2, (1yo).设重心xG (x, y),则有XM XEXFy2 (1yo)2(1yo)22 3y2XM XEXF3yo (1 yo) (
5、1 yo)y。3消去参数yo得y2 1 x92227(x 3).4.解(1)抛物线y2=2px的准线为x=-p2是 4+ =5, 1. p=2.抛物线方程为y2=4x.(2)二点A是坐标是(4,4),由题意得B(o,4),M(o,2),又F(1,o),kFA= ;MN FA, kMN =-,34则FA的方程为y= 4(x-1),MN的方程为y-2=- 3 x,解方程组得x= 8 ,y= - , N 的坐标(3 ,f ).555 5由题意得，圆M.的圆心是点(0,2),半径为2,当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离.当 mw4 时，直线 AK 的方程为 y=-(x-m),
6、即为 4x-(4-m)y-4m=0,4 m圆心 M(0,2)到直线 AK的距离d=2m 816 (m 4)2,令d2,解得m1，当m1时，AK与圆M相离;当m=1时，AK与圆M相切；当m1时,AK与圆M相交.8.解：(I) F lFAFBA B两点到抛物线的准线的距离相等,抛物线的准线是X轴的平行线，y0, y 0,依题意y1，y不同日为0上述条件等价于y1y222X1X2XX2X1X20X1X2上述条件等价于X1x2即当且仅当X1x2 0 时,l经过抛物线的焦点(n)设l在y轴上的截距为l的方程为y 2x bB的直线方程可写为13.解:“、-2 1*2满足方程2x2 -x20 得X1X2B为
7、抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式1八.8m f40,32(I)设4AOB 的重心为 G(x,y),A(x 1,y1),B(X2,y2),则 OAXOB kOA kOB 1，即 X1X2又点A, B在抛物线上，有y12X1 , y22,、X2，代入(2)(2)X1X23yy23化简得xX2(1)必 y21 / 22、y 二-(x1x2)331-(x1 3、2x2)2x1x21-(3x)33x所以重心为G的轨迹方程为yc1_(II)SAOB 11OA|OB|3x2 2 31J(X12 y2)(x2 y2)212 22222224X1X2 X1 y2 X2 y1y1 y22S AOBX1由(I)得2x； 2- 2 . x； x62611)22 12当且仅当Xi6 X6即XiX21时，等号成立。所以 AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1;
