《2018学年河北省定州中学高三（承智班）下学期开学考试数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018学年河北省定州中学高三（承智班）下学期开学考试数学试题（解析版）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、河北定州中学2017-2018学年第二学期高三数学开学考试一、单选题1. 已知函数， 的图像在点处的切线与轴交于点，过点与轴垂直的直线与轴交于点，则线段中点的纵坐标的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设点，切线的方程为，令，得，故，又点，线段中点的纵坐标，设，则，故当时，单调递增；当时，单调递减选D2. 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，过作的平行线交的延长线于，连则即为异面直线与所成的角（或其补角）设，则在中，由余弦定理得，异面直线与所成角的余弦值为选A点睛：求异面直线所成角的方法作：利用定义
2、转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；证：证明作出的角为所求角；求：把这个平面角置于一个三角形中，往往通过解三角形求空间角注意：异面直线所成角的范围为，因此若解三角形求得余弦值为正，则即为所求的异面直线所成角的余弦值；若为负，则要转化为正值3. 若函数图像上存在两个点， 关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”.若函数 恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D. 6【答案】A【解析】当时，故函数在区间上递减，在上递增.故在处取得极小值.根据孪生点对的性
3、质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当时，函数图像与的图像有两个交点，即.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的图像与性质，考查新定义问题的处理方法，考查函数图像关于原点对称点的处理策略.要分段函数两段图像有关于原点的对称点，一般可以将较简单的一段，关于原点对称的表达式求解出来，如本题中的，关于原点对称即为.4. 已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】原式等价于，两边取自然对数得 ，令 ，则时， 因为 当时，即时，单调递增，当时，与矛盾；当时，即时，令，解得 ， ，单调递增，时，单调递减，若，即，当时，单调递增，矛盾；若，即 ，当时，递减，成立
4、，综上， ，最小值为，故选A.5. 已知中， ， ， 成等比数列，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知可知，即，即 ， ，原式等于 ，设 即原式等于 ，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于,所以原式的取值范围是，故选B.【点睛】本题有两个难点，一个是根据正弦定理转化为，再利用余弦定理求角的取值范围，二是将转化为的函数，最后利用函数的单调性求解，本题考查的三角函数的知识点非常全面，而且运用转化与化归的思想，属于难题了.6. 将函数的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到的图像，若，且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数
5、的图象向左平移个单位，可得的图象，再向下平移1个单位，得到的图象，若，且，则，则，即，得，当时，取最大值，故选A.7. 已知命题p：椭圆25x29y2225与双曲线x23y212有相同的焦点；命题q：函数的最小值为，下列命题为真命题的是()A. pq B. ()q C. (pq) D. p(q)【答案】B【解析】p中椭圆为1，双曲线为1，焦点坐标分别为(0，4)和(4，0)，故p为假命题；q中f(x)，设t2(当且仅当x0时，等号成立)，则f(t)t在区间2，)上单调递增，故f(x)min，故q为真命题所以(p)q为真命题，故选B.8. 已知不等式(ax3)exx0有且只有一个正整数解，则实数
6、a的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】当时，1、2都是不等式的解，不符合题意；当时，化为，设，则，所以函数f(x)在上是增函数，在上是减函数，所以当x1时，函数f(x)取得最大值，因为不等式有且只有一个正整数解，则解得.故选A.9. 已知直线l过抛物线C：y24x的焦点，l与C交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，交于点P，则点P的轨迹方程为()A. x1 B. x2 C. y24(x1) D. y24(x2)【答案】A. . . . . .联立，得，由，得，即，即点的轨迹为.故选A.10. 已知函数 ，其中为自然对数的底数，若有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A.
7、 B. C. D. 【答案】C【解析】画出与的大致图象，如图，先求时，与相切时的a值：设切点为，则,解得：，把，得;再求时，与有唯一公共点，且在此点有公切线时的a值：，解得：，而显然是增函数，故是唯一的解，此时，把，得，函数的图象是由的图象向左平移1个单位，再向上平移a个单位（或向下平移-a个单位），由图象可知：时，仅在上与有两个公共点；把代入得，可知时，与在区间和内各有一个交点综上，实数的取值范围是故选：C点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解
8、决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解11. 抛物线的准线交轴于点，过点的直线交抛物线于两点， 为抛物线的焦点，若，则直线的斜率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】易知直线的斜率存在，且不为零.设，即，带入，得由得：，设，由韦达定理得，由题知，得，,把，带入整理，得故选：D12. 如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到，运动过程种，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】取线段中点为N，计算得：.同理，当N为
9、线段AC或C的中点时，计算得.符合C项的图象特征.故选：C二、填空题13. 已知函数 .若函数有个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】设，令方程一定有一根，（1）若，即时，有两根，有两根，（舍去），有两根，函数有个零点， 合题意，可验证，方程有个根，不合题意；当，即时，无解，只需有两个大于的正根即可，只需，解得，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和性质、复合函数的性质、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解
10、题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.14. 已知抛物线的焦点为，点 是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为 ，若，则_【答案】1【解析】由题意，在抛物线上，则，则， 由抛物线的性质可知， ，则，被直线截得的弦长为，则，由，在中，即，代入整理得， 由，解得，故答案为.15. 已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，如果，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是_【答案】【解析】由双曲线的定义及题意可得，解得又，所以，整
11、理得，又，故双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是答案：点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：先判断函数的单调性，然后利用函数的单调性求解；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围16. 在中，角的对边分别为，且满足条件， ，则的周长为_【答案】3【解析】中，即又
12、，即，则解得，代入解得的周长为点睛：本题考查的是正弦定理和余弦定理，诱导公式及两角和的余弦公式，属于难题。以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理，余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是今年高考考查的一类热点问题，综合性较强，解答这类问题，两角和与差的正余弦公式，诱导公式及二倍角公式一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心。三、解答题17. 已知函数， .（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，令函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）切线方程为；（2）实数的取值范围是.【解析】【试题分析】（1）当时，求出切点和斜率，利用直
13、线方程点斜式可求得切线方程.（2）先化简得到.利用导数求得其最小值为，由此得到在区间上有两个零点的条件是，解这个不等式求得的范围.【试题解析】（1）当时， .当时，所以点为，又，因此.因此所求切线方程为.（2）当时，则.因为，所以当时，且当时，；当时，；故在处取得极大值也即最大值.又， ，则，所以在区间上的最小值为，故在区间上有两个零点的条件是 ，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数导数与切线，考查函数导数与零点问题，考查化归与转化的数学思想方法.第一问要求函数在某一点的切线方程，只需求出切点和斜率，利用点斜式即可求得对应的切线方程.第二问利用导数研究图像得到其最小值后列不等式组来求
14、的取值范围.18. 已知函数.(1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围；(2)若函数在上存在两个极值点，且，证明： .【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由条件可知恒成立，通过参变分离的方法得到恒成立，即 转化为利用导数求函数的最大值，即求的取值范围；（2）根据条件可知， 和 ，经过变形整理为 ，经过换元，可将问题转化为证明 ，利用导数求函数的最小值，即可证明.试题解析：(1)由函数在上是减函数，知恒成立，.由恒成立可知恒成立，则，设，则，由，知，函数在上递增，在上递减，.(2)由(1)知.由函数在上存在两个极值点，且，知，则且，联立得，即，设，则，要证，只需证，只需证，只需证.构造函数，则.故在上递增，即，所以.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，考查了转化与化归的鞥努力，尤其是第二问，利用条件可变形为 ，这样通过换元设，转化为关于的函数 .
