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1、2.1什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x表示系统输出，x表示系统输入，哪些是线性系统？oi(1) X + 2 x X + 2 x = 2 x (2) x + 2 x + 2 tx = 2 xoo ooioooi(3) x + 2 x + 2 x = 2 x (4) x + 2 x x + 2 tx = 2 xoooioo ooi解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的 一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中(2)和(3)是线性系 统。2.2图(题2.2)中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中x表示输入位移，x表示输出位移
2、，假设输出端无io负载效应。图（题2.2）解:(1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有c ( X - X ) - c X = mX1i o2 oomX + ( c + c ) X = c Xo12 o1 i对图(b )所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有(x 一x)k = c(X一X )(1)i1c(X一X )=k xo2 o消除中间变量有c ( k 一 k ) X 一 kkx = ckX12o12 o1 i(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有c ( X 一 X ) + k ( x 一 x ) = k xio1io2 oc X + ( k + k ) x = cX + k xo12oi1
3、 i2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。RiMiHiRzIkHiR2Ik(a)的电流,i为总电流，则有图（题2.3）解：(1)对图(a)所示系统，设i为流过r 1u = R i +f idtO 2 Cu -u = R iio111u -u =J (i-i )dti o C11)“一耸-uoo2 * 2 2 )U + c r u2 1消除中间变量，并化简有C R U + (1 +*1 2 oR C=C R u + (+ C*12对图(b)所示系统，设i为电流，则有u =u + R i +J idti o 1 Cu J J idt+R i C22消除中间变量，并化简有(R + R ) U
4、 + (+-12 o C C1 22.4求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩,c为圆周阻尼，J为转动惯量。解：设系统输入为M (即)输出即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下:M = J0 +C 0 + Rk(R0 x)mk (Ro x)=mx+cx消除中间变量x ,即可得到系统动力学方程mJ0 + ( mC + cJ ) 0 + ( R2km + C c KJ ) 0 + k ( c R2 + C ) 0mmm=mM + cM + KM2.5 输出 y(t)与输入 x(t)的关系为 y(t)= 2x(t)+0.5X3(t)。(1) 求当工作点为x =0,
5、x =1,x =2时相应的稳态时输出值；ooo(2) 在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定 义x和y,写出新的线性化模型。解:(1)将 x =0,x =1,x =2 分别代入 y(t)= 2x(t)+0.5X3(t)中，即当工作ooo点为x =0,x =1,x =2时相应的稳态输出值分别为y = 0 , y = 2.5 ,oooo0y = 8。o(2)根据非线性系统线性化的方法有，在工作点(x, y )附近，将o o非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得I V x x=xoy + V y = 2x + 0.5 x3 + ( 2 + 1.5 x2)|oooV y =(若令x
6、= V x , y =Vy有当工作点为x = 0时,o当工作点为x = 1时,o当工作点为x = 2时,o2 + 1.5 x2)l v xx = xy = ( 2 + 1.5x2) x0y = ( 2 + 1.5 x2) x = 2 x0y = ( 2 + 1.5x2) x = 3.5x0y = ( 2 + 1.5 x 2) x = 8 x02p2.6已知滑阀节流口流量方程式为Q = cwx，式中.Q为通过v P节流阀流口的流量；p为节流阀流口的前后油压差；x为节流阀的位v移量；c为疏量系数；w为节流口面积梯度；P为油密度。试以Q与p为变量(即将Q作为P的函数)将节流阀流量方程线性化。解：利用
7、小偏差线性化的概念，将函数Q=F(x，p)在预定工作v点F( X，p )处按泰勒级数展开为o oQFQ=F(x ,p )+()1(x ,p )VxH)(x ,p )Vp+vo oQx I vo ov Q pvo ov消除高阶项，有QFQ=F(x ,p )+()|(x ,p )Vx + (巴)|(x ,p )Vp vo oQx | vo ov Q p vo ovVQ=F(x，p)-F(x，p )vvo oQF=F(x ,p )+()1(x ,p )Vx + ()(x ,p )Vp-F(x ,p ) vo oQx I vo ov Q pvo ovo ovQF=()1(x ,p )Vx + (伫)(
8、x ,p )VpQx | vo ov Q pvo ov若令K =(工厂dxOFvor o)(x p), K =()(x p),vo，o 2Opvovv Q = K1pv2将上式改写为增量方程的形式Q K1 x + K pv22.7已知系统的动力学方程如下，试写出它们的传递函数Y(s)/R(s)。(1) y(t) +15y(t) + 50y(t) + 500y(t) = r(t) + 2r(t)(2) 5y(t) + 25y(t) = 0.5 r(t)(3) y(t) + 25y(t) = 05 r(t) y(t) + 3y(t) + 6y(t) + 4 j y(t)dt = 4 r(t)解：根
9、据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学 方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求Y(s)/R( s)。(1)S3Y (s) + 15s2 Y (s) + 50sY (s) + 500Y (s) = S2 R(s) + 2sR(s)Y(s)/ R(s)=s 2+2ss 2+15s2 +50s+5005s 2 Y (s)+25sY (s)=0.5sR (s)Y (s)/ R(s)=0.5s5s2+25sY (S)/R(s)=0.5s2+25s s 2Y (s)+3sY(S)+6Y (s)+4Y (s)=4Y (s) sY (s)/ R(s)=4ss3+3s 2+6s+42.8如图
10、(题2.8)为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型,试以位移x为输入量，位移y为输出量，求系统的传递函数Y(s)/X(s)。Dli图(题2-8)2.9试分析当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为KkG(s) =,G(s)=Ts ,G(s)=，而闭环传递函数为Ts+1sG (s) =G(S)则1G(s)eH (s)，则(1) 当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为惯性环节时,KG (s) =G)= Ts+1 = K1G(s)eH(s)1 Kts+1Kts+t(2
11、) 当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为微分环节时,G (s) =G (s)= Ts1 G( s)e H (s)Trs(3)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为积分环节时，KG (s) =G(s)= T = K1G(s)eH(s)Ks2.10证明图(题2.10)与图(题2.3 (a)所示系统是相似系统(即证明两系统的传递函数具有相同形式)。图(题2. 10)解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程。u = R +J idto 2 C2u u = R iio111u u =J (ii )dti o C11对以上三式分别作Lapice别换，并注意到初始条件为零，即I(
12、0)=I(0)=0I(0)=I2(0)=01 2I (s)(U (s)=R I(s) + = (R 2+O 2C2s2U (s)U (S)=RI (s)iO1 1C1sC1sU (s)U (S) =I(s) I(6)xR ,i=电 11(s)C1s 1竺-电11(s)C1sC1s 1U (s)0U (s) U (s) 1=(8)zO(丄+R1)Cis 1U (s)U (s)=iOR1 XC1sCl TTRc/=1tRc；I (s)RU (s) =Uo(s)+ T_1CI(s)(9)iRi 1将(4)式中的U (s)代入(9)式01 RU (s) = (R2+C-) 1 (s) + 旨P1 (s
13、) i 2 C 2 s1+R C2 八1 11R=(R 2 + t ) I (s)2 C2s 1+RCs再用(4)式与上式相比以消去I(s)，即得电系统的传递函数为1/、(R2+)I(s)G(s)/o二】2 =U i(s)(R +1) I (s)2 Cs (1+R1C1s)1R 2+=2 C 2sR + 1 +R12 C2 s (1+R1C1s)而本题中，引入中间变量X,依动力学知识有(x -x )k + (X -x )c = (xo-x )c (x x )c = kio 1对上二式分别进行拉式变换有k r x x G)-+ sCc_ X (s)-Xo(s)2 L i0-2-i0XO (s) - X (s)sc csX (s) X(s)=1。k+c1s 1 1消除X(s)有=X 0(s) =k 2+c 2 s=c2+k 2sG(s)Xi k+ cs+k c s1C1c1八22k1+c1sc 2 s1+ c1 s k1比较两系统的传递函数有k 2 O C2k 1 o C1
