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1、大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1. 若，则_。2若齐次线性方程组只有零解，则应满足 。 3已知矩阵，满足，则与分别是 阶矩阵。4矩阵的行向量组线性 。5阶方阵满足，则 。二、判断正误（正确的在括号内填“”，错误的在括号内填“”。每小题2分，共10分）1. 若行列式中每个元素都大于零，则。（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（ ）4. ，则。（ ）5. 若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。 ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号
2、内。每小题2分，共10分) 1. 设为阶矩阵，且，则（ ）。 42. 维向量组 （3 s n）线性无关的充要条件是（ ）。 中任意两个向量都线性无关 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。 任意个维向量线性相关 任意个维向量线性无关 任意个 维向量线性相关 任意个 维向量线性无关4. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 若，均可逆，则可逆 若，均可逆，则 可逆 若可逆，则 可逆 若可逆，则 ，均可逆5. 若是线性方程组的基础解系，则是的（ ） 解向量 基础解系 通解 A的行向量四、计算题 ( 每小题9分
3、，共63分)1. 计算行列式。解2. 设，且 求。解. ，3. 设 且矩阵满足关系式 求。4. 问取何值时，下列向量组线性相关？。5. 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。7. 设，求的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7分)若是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵。大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5 2. 3. 4. 相关 5. 二、判断正误1. 2. 3. 4. 5. 三、单项选择题1. 2.
4、3. 4. 5. 四、计算题1. 2. ，3. 4. 当或时，向量组线性相关。5. 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6. 则 ，其中构成极大无关组，7. 特征值，对于11，特征向量为五、证明题， 一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（ ）(A)或; (B)； （C）或; (D)。2、和均为阶矩阵，且，则必有（ ）(A) ； (B)； （C） . (D) 。3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（ ）(A) 的列向量线性无关； (B) 的列向量线性相关；（C） 的
5、行向量线性无关； (D) 的行向量线性相关.4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（ ）(A) 的秩小于； (B) ；(C) 的特征值都等于零； (D) 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则= 。6、为阶矩阵，且，则 。7、已知方程组无解，则 。8、二次型是正定的，则的取值范围是 。三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式10、计算阶行列式四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明：(1) 能有线性表出；(2) 不能由线性表出。12、设是
6、阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。证明（1） ；（2） 。 五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。14、已知方程组与方程组有公共解。求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空题5、-125; 6、； 7、-1； 8、。三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：第二列减第一列，第四列减第三列得： （4分）按第一行展开得按第三列展开得。 （4分）10、解：把各列加到第一列，然后
7、提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式 （4分） （4分）四、证明题11、证明：(1)、 因为线性无关，所以线性无关。，又线性相关，故能由线性表出。 (4分)，（2）、（反正法）若不，则能由线性表出，不妨设。由（1）知，能由线性表出，不妨设。所以，这表明线性相关，矛盾。 12、证明 （1） （4分）（2）由（1）得：，代入上式得 （4分）五、解答题13、解：（1）由得的特征值为，。 （4分）（2）的特征向量为，的特征向量为，的特征向量为。 （3分）（3）因为特征值不相等，则正交。 （2分）（4）将单位化得， （2分）（5）取（6） （1分）14、解：该非齐次线性方程组对应的齐
8、次方程组为因，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。 （5分）另一方面，记向量，则直接计算得，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为，。 （7分）15、解：将与联立得非齐次线性方程组: 若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵作初等行变换得: . （4分）1当时，有，方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解，此时，则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: ,所以与的全部公共解为，k为任意常数. （4分）2 当时，有，方程组有唯一解, 此时，故方程组的解为:, 即与有唯
9、一公共解. （4分）线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共28分)一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，则A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0B. BC时A=0 C. A0时B=C
10、D. |A|0时B=C5.已知34矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全为0的数1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C.至少
11、有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.1+2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A.如存在数和向量使A=，则是A的属于特征值的特征向量 B.如存在数和非零向量，使(E-A)=0，则是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，则1，2，3有可能线性相关11.设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k3B. k312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1
