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1、第三章 微分法建模微分概念是高等数学中的基本概念，它表示两个变量之间的变化率.尽管大多数学过高等数学的同学对微分概念很熟悉，但灵活地将微分概念运用于数学建模并不是件容易的事情.3.1 微分法3.1.1纯增长率概念纯增长率(pure growth rate)也叫净增长率(net growth rate)，它是微分法建立数学模型最常用的概念之一.令记某个量在时刻的值.我们可以设想这个量是某生物种群中个体总数.其实它也可以是地球上人类人口数，或是某集团公司的资本总量等等.这个量可以用不同方式计量，例如人口数量以百万计算；厂商资本的总量以百万元计算；植物的净重以公斤计算；某鱼类种群的数量以公斤计算等等
2、.我们假设它的值可以取某个区间内的任何实数，也就是认为它是一个连续的量.令表示在单位时间现有每单位种群诞生或新加入种群的单位数，并称它为瞬时出生率(instantaneous birth rate)，又令记现有种群单位数.于是，在长度为的无穷小时间区间中，实际增加的种群单位数近似的为.这里之所以说是近似值，是因为通常随时间而变化，即，因而我们在出生率前面加上了形容词“瞬时的”.在无穷小区间内，从变到.类似地，从变到.另一方面，区间又如此之短，以至于在此区间中的值与的值没有多大区别，而与的值也同样没有多大的不同.通常认为，和对至少连续，并且假设对还是可微的.因此当时，,这里“大”定义为当时的无穷
3、小量，即.现在我们可以更确切地写出在无穷小区间内种群实际增加的单位数，这就是令记在单位时间现有每单位种群中死亡或离开种群的单位数，并称它为瞬时死亡率(instantaneous death rate).于是类似于上面的讨论，在无穷小区间内，实际离开种群的单位数为显然，上面两式之差就是在无穷小区间内种群纯增加的单位数，这也正好是增加的数量，所以有现在定义纯增长率为单位时间现有每单位种群中纯增加的种群单位数.因为为瞬时出生率与瞬时死亡率之差，亦即.于是，得到取极限即得从而有 如果用表示当时的高阶无穷小量，即.则(3.1.1)式的右端可改写为(3.1.2)式本身并不是一个数学模型，而只是纯增长率的定
4、义，它通常是函数.但是一旦对这个函数的具体形式作出假设，它就成为一个数学模型.3.1.2 微分方程及其初等解法用微分法建立的数学模型通常都可以用微分方程来表示，因此模型的求解会利用到微分方程的解法.大多数情形下，由于建立的模型比较复杂，很难用初等积分方法来求精确解，这时需要用数值方法来近似求解.但对于较为简单的情形，可以用分离变量法、常数变异法等方法来求得精确解.这些方法在常见的常微分方程书中都可以找到，所以这里不再重复.3.2 Malthus模型及其修改3.2.1 连续Malthus人口模型设某地区的人口总数为.1798年，英国人T.J.Malthus在研究了百余年的人口统计资料之后，他发现
5、了单位时间人口的净增长与人口总数成正比的规律，即 (3.2.1)当时，上式变为微分方程 (3.2.2)根据现实状况，配以适当的初始条件如： (3.2.3)系统(3.2.2) (3.2.3)可求解为： (3.2.4)这就是著名的Malthus人口模型.这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好的吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时却发现了相当大的差异.人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口数量比较符合该模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却与此模型相去很远.在理论上，当时，.这意味着该地区人口数量可以无限制地增大，这与现实是相矛盾的.3.2.2 湖泊污染的减退
6、考虑一个受某种物质污染的湖水.假设这个湖的湖水体积（以立方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中.以记在任意时刻每立方米湖水中所含污染物质的克数，这是污染程度的一种合理量度，习惯上称之为污染浓度.令表示每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天流入湖里的水量.我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖水，此时流入湖里的全部是干净水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时（即污染停止时）污染浓度的或环保要求？考虑在时间段上湖水污染浓度的变化.因为湖水所含污染物的量的减少是由污水流出造成的，故 (3.2.5)当时，上式变为微分方程 (3.2.6)考虑如下的初始条件： (3.2
7、.7)于是(3.2.6) (3.2.7)可求解为： (3.2.8)这是Malthus模型的另一个版本.利用(3.2.8)我们可以解决前面提出的问题.式(3.2.8)告诉我们： (3.2.9)将代入(3.2.9),就可以计算出污染浓度下降到开始时（即污染停止时）污染浓度的所需的时间为： 我们把此结果应用于北美的两大湖：安大略湖和伊利湖.这两个湖的湖水体积分别为和立方米，而平均流量分别为每天和立方米.因此安大略湖的天或23.5年，伊利湖的天或7.8年.由于建立模型时有两个假设；一、污染物质均匀的混合在湖水中.二、流入（或流出）湖水的流量是一个常数.故我们建立的模型与现实是有差距的.当然，如果实际流
8、量的季节性变化对污染没有太大的影响，而污染物质与湖水混合不均匀尽可能延长净化时间的话，上面的结果就可能看成是所需净化时间的一个下限.这是我们从这个简单的模型中所得到的一个很有用的信息.3.2.3 Malthus模型的修改Verhulst模型对Malthus模型的修改中最著名的是Verhulst模型.考虑到单位时间单位人口的净增长率并不一定是一个常数，那么最简单的假设是线性关系.理论上，如果没有自然灾害、疾病或战争，人类的总数会不断增加，这样必然导致人类生存竞争的加剧和人类生存环境的恶化.事实上，单位时间单位人口的净增长率呈下降趋势.因此人口数量的变化可以考虑关系： (3.2.10)当时，上式变
9、为微分方程 (3.2.11)其中，都是正常数.边界条件(3.2.2)在这里是同样适合.从方程发现，如果，则，从而单调增加趋于最大群体数；如果，则，从而单调减少趋于最大群体数.事实上，令，方程(3.2.11)变为线性方程其解为：，其中从而 (3.2.13)其中.显然，当时，.当分别取时图形如图3.1所示.并称的图像为Logistic（逻辑斯提克）曲线，而相应的微分方程也称为Logistic（逻辑斯提克）方程.3.2.4 植物的生长模型令为某种植物在时刻的净重（或干重，即不包含水分的重量）.设这种植物吸取一种养料而生长，记这种养料在时刻的重量为.一般而言，养料越多，植物生长得就越快；反之，养料越少
10、，植物生长得就越慢.因此最简单的假设是：时刻单位时间单位净重量植物的净重量的增长与养料在时刻的重量成正比，即 (3.2.14)这里是正常数.我们也可以假设别的，例如时刻单位时间单位净重量植物的净重量的增长与养料在时刻的重量的平方成正比，或与养料在时刻的重量的二分之三次方成正比等等.但在缺少有关该植物本身进一步信息的情况下，我们区分不出哪一个假设更正确，因此我们采用其中最简单的假设.当然，这也可能是一个很好的假设，如果不是，以后还可以修改.由式(3.2.14)即得 (3.2.15)此时，由于养料在时刻的重量未知，所以(3.2.15)还不能单独求解.我们必须寻求其它的量关系.为此，我们假设养分被植
11、物吸收后全部转化成了植物的净重量，没有丢弃任何东西.这意味着，任意时刻单位时间养分减少的重量与植物净重量的增加相等，此关系可表示为： (3.2.16)上式中“负号”表示植物的净重量增加时养分的重量减少.从(3.2.16)中马上可以得到 (3.2.17)其中常数为对应于时的值.方程(3.2.15)和(3.2.17)一起便可求解.将(3.2.17)代入(3.2.15)，得到 (3.2.18)这就是植物生长的数学模型.它的解为： (3.2.19)其解曲线如图3.2所示.注意到曲线是S形的，先向上弯曲到拐点，然后向下弯曲，并且当时逼近于水平渐近线.不难发现，我们又一次得到了Logistic方程和Log
12、istic曲线，即方程(3.2.18)和曲线(3.2.19).这是生态学中最重要的数学模型之一.实践中，植物的生长会在有限时间内达到它的最大净重量，而在(3.2.19)中说明只有当时才逼近于.这说明该模型只是抓住现象的本质特点，而不是现实过程的模仿.实际测量数据是判断模型有效性的唯一根据.当适当选择和的值之后，上述模型对一年生的植物生长给出了很好的描述.练习蚂蚁群体的死亡率同当时的数目成正比.如果不出生幼蚁，则在一周末总数减少一半.然而，由于要产幼蚁，出生率也同现有总数成正比变化，并且两周内蚁群总数翻一番.试确定每周该群体的出生率.一个大罐装有50升的盐水，其内溶有50公斤的盐，水以每分钟2升
13、的速度注入该罐，并且搅拌好的溶液以同样的速度流进原先装有50升纯水的二级罐，试确定25分钟后二级罐内溶液的浓度.假设Verhulst方程(3.2.11)变为试求解之.并比较(3.2.11)的解.如果变为又如何？两棵植物种在一起，按比例吸取养分，试建立它们的生长模型. 3.3 传染病传播的数学模型人们将传染病的统计数据进行处理和分析发现，在某一地区某种传染病传播时每次所涉及的人数大体上是一个常数.这一现象如何解释呢？下面我们建立传染病传播的数学模型并用我们建立的数学模型来解释这种现象.传染病传播涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等，如
14、果还要考虑人员的迁入和迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的宣传等因素的影响，那么传染病的传播变得非常复杂.如果一开始就把所有的因素统统考虑进去，那么我们将陷入多如乱麻的头绪中而不能自拔，倒不如舍弃众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型.将所得结果与实际比较，找出问题，修改原假设，再建立一个与实际比较吻合的模型.下面由简单到复杂将建模的思考过程作一示范，读者可从中得到很好的启发.模型一考虑最简单的情形.假设（1），每个病人在单位时间内传染的人数是常数；假设（2），一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡，即他一旦得病后就一直是病人.记表示时刻病人数，表示每个病人单位时间内传染的人数，即最初有个传染病人，则在时间内增加到病人数为于是得微分方程 (3.3.1)这也是一个Malthus模型.其解
