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1、中学数学解析几何公式 优盟教化中心 数学教研组中学解析几何提高讲义 第一部分：直线其次部分：圆第三部分：离心率、轨迹方程和圆锥曲线的重要性质（常见结论）第四部分：极坐标与参数方程第五部分：圆锥曲线的综合问题第一部分：直线（一）两点式，点斜式，斜截式，一般式，截距式，第六种直线方程；（二）斜率与含参线性规划问题；（三）点到直线的距离，平行线的距离，直线中的最值；（四）对称的一般原理和特别状况（）；（五）直线系问题：过两交点的直线系；平行直线系；垂直直线系；（一）两点式，点斜式，斜截式，一般式，截距式，第六种直线方程；基本说明：（1）倾斜角：始终线向上的方向与轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾
2、斜角，范围为.（2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，称其正切值为该直线的斜率，即.当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在，然而许多解析几何大题的最值问题偏偏是当直线的斜率不存在的时候取得，用第六种直线方程很好的解决了这个问题，既能避开分类探讨又可以简化计算。（3）用截距式解题要留意防止由于“零截距”造成丢解的状况.当出现“截距相等”“截距互为相反数”时简洁丢解.（4）点斜式体现的方程思想（点和斜率代表两个未知量），一般式沟通点到直线的距离，截距式与均值不等式有联系。例1.直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为，求直线的方程。解析：方法1：设所求直线的方程为，直线过点即.又由已知有即
3、，解方程组得：或故所求直线的方程为：或.即或解法2：设直线方程为，时时又，解得或点评：要求直线方程，已知一个点的前提下，用点斜式更便利思索，相当于由已知条件构造一个关于的方程。例2.与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）A2条 B.3条 C.4条 D.6条解析：在两坐标轴上截距相等的直线有两类：直线过原点时，有两条与已知圆相切；直线不过原点时，设其方程为，也有两条与已知圆相切.选C例3若AB是过椭圆中心的弦,为椭圆的焦点,则面积的最大值为_解析：设AB方程为，代入椭圆方程得，.当等号成立.例4.已知点A(2,3)，B(5,2)，若直线l过点P(1,6)，且与线段AB相交，则该直线倾斜
4、角的取值范围是_解析：如图所示，kPA1 直线PA的倾斜角为，kPB1 直线PB的倾斜角为，从而直线的倾斜角的范围是点评：以为界，斜率都关于倾斜角单调递增。例5.已知直线的倾斜角为，且0135，则直线的斜率取值范围是_解析：以为界，对应的斜率为，对应的斜率为.（二）斜率与含参线性规划问题；例1如左下图，若满意约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则的取值范围是（ ）A B C D 解析：当目标函数的斜率非负时，需满意，解得；当目标函数的斜率为负时，须要满意解得.综上， 例2.已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D内有无穷多个
5、点可使目标函数取得最小值，则（ ）A. B. C.1 D.4解析：由A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）的坐标画右上图（1）若，只有一个点为最小值，不合题意；（2）若，目标函数的斜率为，当目标函数与直线AC重合时有无穷多个点可使目标函数取得最小值，故；同时当目标函数与直线AB重合时有无穷多个点可使目标函数取得最大值.与题意冲突，舍去.（3）若，目标函数的斜率为，当目标函数与直线BC重合时有无穷多个点可使目标函数取得最大值.与题意冲突，舍.综上可知，.（三）点到直线的距离，平行线的距离，直线中的最值；（1）点到直线的距离设，则到的距离例1.已知点A，B，C，求三角形ABC的面积。解析：设AB
6、边上的高为，则,，AB边上的高就是点C到AB的距离。AB边所在直线方程为，即.，例2.求过点，且与原点的距离等于的直线方程解析：当直线斜率不存在时，直线方程为，不合题意；当直线斜率存在时，设方程为：即，由题意：，解得或所以所求直线方程为：或点评:本题设直线方程时确定要先考虑直线的斜率是否存在. （2）平行线的距离若，则：.例1.若直线与直线平行且距离为，求直线的方程解析：因为直线与平行，所以斜率相等，可以设直线为由题意可得，解得或者，所以所求直线方程为：或例2若直线被两平行线与所截线段的长为，则直线的倾斜角可以是_（写出全部正确答案的序号） 解析:两平行线间的距离，故直线与的夹角为，的倾斜角为
7、，所以直线的倾斜角等于。答案是（3）直线中的最值.原理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.例1.已知A(8,6), B(2,2)，在直线：上有点P，可使|PA|+|PB|最小，则点P坐标为（ ）解析：点B关于直线的对称点是C,连接AC交直线，交点即点P.直线AC方程是，联立，解得点P例2.已知点A(1,3), B(5,2)，在轴上取点P，使|PA|PB|最大，则点P坐标为 解析:点B关于轴的对称点C是，延长直线AC交轴，交点即点P.直线AC的方程是，于是点P为.例3.求函数y=+的最小值.解析：即轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，3）的距离之和，y的最小值就是|PA
8、|+|PB|的最小值.取A关于x轴的对称点为C（0，3），则|PA|+|PB|的最小值等于|BC|，即.所以（四）对称的一般原理和特别状况（）例1.求直线：关于直线l：对称的直线的方程.解析：联立直线和直线l解得交点E ，E点也在上.方法一：在直线：上找一点A（2，0），设点A关于直线l：的对称点B的坐标为（x0，y0），解得B.由两点式得直线b的方程为，即方法二：设直线b上的动点P关于：的对称点Q，则有解得Q（x0，y0）在直线：上，则，化简得.点评：方法二即闻名的设而不求。例2.曲线C：关于直线对称的曲线的方程_解析：假如关于对称的直线的斜率是，则可以干脆用结论.以本题为例，点评：凡是关于
9、对称的直线斜率为，干脆代入即可.证明很简洁，略.例3.已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（ ）A. B. C. D. 解析：由得到 选C补充练习：已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为_例4.已知点M，在直线：和y轴上各找一点P和Q，使MPQ的周长最小.解析：可求得点M关于的对称点M1，同样简洁求得点M关于y轴的对称点M2.由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为令，得到M1M2与轴的交点Q 解方程组得交点P 故点P、Q即为所求.例5.已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当改变且为定
10、值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标解析：（I）如图，设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，明显，将与联立消去，得由韦达定理知（1）当时，即时，所以，所以由知：所以直线可表示为，即，所以直线恒过定点（2）当时，由得=将式代入上式整理化简可得：，所以，此时直线的方程可表示为即所以直线恒过定点所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点（五）直线系问题：过两交点的直线系；平行直线系；垂直直线系
11、.（1）两条直线的方程分别为、在直线都有斜率的条件下，平行的充要条件是（2）两条直线的方程分别为、，则两直线垂直的充要条件是（3）设直线，经过的交点的直线方程为（除去）；留意：可以推广到过曲线与的交点的方程为：。例1.对于两条直线下列说法中不正确的是（ ） A若，则 B若，则 C若，则 D若，则解析：A选项两条直线可能重合，不正确。选A例2.求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.解析：设所求直线方程为：，当直线过原点时，则=0，则=1，此时所求直线方程为：；当所求直线不过原点时，令=0，解得=，令=0，解得=，由题意得，=，解得，此时，所求直线方程为：.综上所述，所求直线方
12、程为：或.例2.已知圆C：及直线求证：无论为任何实数，直线恒与圆C相交。证明：由易证直线过定点M，且，即点M在圆C内，点M又在直线上，故不论为任何实数，直线与圆C相交。例3.求证:无论为何值,直线与点P的距离都小于4证明：将直线方程按参数整理得，易得直线恒过定点M，求得|PM|，所以.而过点M且垂直PM的直线方程为又无论为何值,题设直线系方程都不行能表示直线 其次部分：圆（一）圆的方程；（二）点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系；（三）圆的性质：单位圆，切线方程，圆系；（一）圆的方程标准方程与一般式其实都是三个未知数，参数方程更多考小题，以某线段为直径的圆的方程常常出现在大题中.（1）圆的标准方
13、程（2）一般式：（3）以线段为直径的圆的方程:设线段AB的端点分别是AB，则以线段AB为直径的圆的方程是：（4）圆的参数方程：例1.求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。解析：因圆心在直线上，故可设圆心为.又圆与轴相切，此时可设圆方程为又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，弦心距 ，解得当时，圆方程为当时，圆方程为例2.求经过两已知圆和的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。解析：设所求圆的方程为：即，圆心为C又C在直线上，解得，代入所设圆的方程得例3已知ABC的三个项点坐标分别是A，B ，C ，求ABC外接圆的方程。解析：设圆的方程为将三点A，
14、B ，C 分别代入圆的方程得到： 解得所以，圆的方程是。例4.在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满意：存在过点P的无穷多对相互垂直的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求全部满意条件的点P的坐标.解析：（1）直线的斜率确定存在，设直线方程是，由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形算出斜率即可.或，故直线方程是（2）方法1：设点P坐标为，直线、的方程分别为： ，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，且两圆半径相等。故圆心到直线的距离与直线的距离相等。 即：，即或化简得：或关于的方程有无穷多解当且仅当或解之得：点P坐标为或。方法2：点P在C1C2中垂线上，且与圆C1、圆C2构成等腰直角三角形，设P点坐标为计算可得点P为或例6.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）A.
