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1、第三讲 奇解与包络（4课时）目的要求：了解包络和奇解的定义，掌握包络和奇解的之间的关系，掌握奇解的求法。重点：包络和奇解的求法。难点：奇解及其求法。教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。教学过程： 本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法。2.4.1奇解在本章节的例2中，我们已经看到方程的通解是，还有一解，除解外，其余解都满足唯一性，只有解所对应的积分曲线上的点的唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在.例1 求方程的所有解.解 该方程的通解是此外还有两个特解和。由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，图 2-1
2、3显然解和所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。本节主要讨论一阶隐式方程 和一阶显式方程 的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。对于方程，由定理，这样的区域可用无界去检验，而对于隐式方程，一般来说，若能解出几个显式方程那么对每一个方程，应用定理即可。其次对于方程，如果函数对所有变量连续且有连续偏导数，并且在的邻域内有成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得其中函数是连续的且有连续偏导数，特别有这样一来，对方程初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。 因此，我们可以就方程或给出奇解的定义。定义 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲
3、线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。由上述定义，可见节例2中的解是方程的奇解，而例1中的解和是方程的奇解。2.4.2 不存在奇解的判别法假设方程的右端函数在区域上有定义，如果在D上连续且在D上有界(或连续)，那么由本章定理，方程的任一解是唯一的，从而在D内一定不存在奇解。如果存在唯一性定理条件不是在整个有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。例2判断下列方程(1) (2) 是否存在奇解。解 (1)方程右端函数，均在全平面上
4、连续，故方程(1)在全平面上无奇解。(2) 方程右端函数在区域上有定义且连续，在上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有y = x，即若方程(2)有奇解必定是y = x，然而y = x不是方程的解，从而方程(2)无奇解。2.4.3 包络线及奇解的求法下面，我们从几何的角度给出一个由一阶方程或的通积分求它奇解的方法。当任意常数C变化时，通积分给出了一个单参数曲线族(C)，其中C为参数，我们来定义(C)的包络线。定义 设给定单参数曲线族 其中C为参数，对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L，其上任一点均有(C)中某一曲线与L相切，且在L上不同点，L与(C)中不同曲线相切，那么称
5、此曲线L为曲线族(C)的包络线或简称包络。见图2-14图 2-14定理 方程的积分曲线族(C)的包络线L是的奇积分曲线。证明 只须证明(C)的包络线L是方程的积分曲线即可。设p(x,y)为L上任一点，由包络线定义，必有(C)中一曲线l过p点，且与L相切，即l与L在p点有公共切线。由于l是积分曲线，它在p点的切线应与方程所定义的线素场在该点的方向一致，所以L在p点的切线也就与方程在该点的方向一致了。这就表明L在其上任一点的切线与方程的线素场的方向一致，从而L是的积分曲线。证毕。有了这个定理之后，求方程的奇解问题就化为求的积分曲线族的包络线的问题了.下面我们给出曲线族包络线的求法。定理 若L是曲线
6、族的包络线，则它满足如下的C-判别式 反之，若从解得连续可微曲线且满足：和,（称为非退化条件），则是曲线族的包络线.证明 对L上任取一点p(x,y)，由包络线定义，有(C)中一条曲线l在p点与L相切，设l所对应的参数为C，故L上的点坐标x和y均是C的连续可微函数，设为又因为p(x,y)在l上，故有恒等式 L在p点的切线斜率为l在p点的切线斜率为因为l与L在p点相切，故有，即有关系式 另一方面，在式两端对C求导得此式与比较，无论是在和同时为零，或不同时为零的情况下均有下式 成立。即包络线满足C-判别式.反之，在上任取一点q(C)=(C),(C),则有 成立.因为不同时为零，所以对在q点利用隐函数
7、定理可确定一条连续可微曲线（或），它在q点的斜率为 另一方面，在q点的斜率为 现在，由的第一式对C求导得再利用的第二式推出 因为和分别不同时为零，所以，由、和推出,即曲线族中有曲线在q点与曲线相切.因此，是曲线族的包络线。例3 求的奇解.解 在本章节已解得方程通解为由C-判别式解得. 由于，所以为原方程的奇解.例4 求方程的奇解。解 由上面的例1，该方程的通解为，由C-判别式 的第二式解出代入第一式，得到。因为，故为方程的奇解。例5 求克莱洛方程的奇解，其中是二次可微函数且。解 由第1章节的例2可知该方程的通解为C-判别式为 因为,故由所确定的曲线必定是克莱洛方程的奇解.即克莱洛方程总有奇解。本节要点：1.奇解的定义。2.不存在奇解的判别方法。（1）全平面上解唯一不存在奇解。（2）不满足解唯一的区域上没有方程的解无奇解。3.求奇解的包络线求法。包络线满足C判别式。在非蜕化条件下，从C 判别式解出的曲线包络线。 作业： 练习 1., 2., 3，。作业：练习1判断下列方程是否有奇解如果有奇解，求出奇解，并作图（1）（2） （3） 2求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在轴上的截距之和为13求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数
