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1、数列通项公式与数列求和方法liiJ一、常见由递推公式求数列的通项公式的类型类型1 Q广a. + f (n)解法：把原递推公式转化为Qh %= f (n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知数列气满足a1 = 2，.1 工七广a+e，求a。一、a 、类型2 an+i = f (n)an解法：把原递推公式转化为了 = f (n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。n例2:已知数列满足a = 2，a =a，求a。 n1 3n+1 n + 1 n n类型 3 an+1 = pa“+ q (其中 p，q 均为常数，(pq(p -1)。0)。解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：。明-1 = p(an
2、 -1)，其中t = 芒，再利用换元法转化为等比数列求解。例3:已知数列a 满足匕=1,a +1 = 2a + 1(n g N*).(I)求数列a 的通项公式;(II )若数列妇满足每-14。2-1也-1 =(气+ 1)bn (n G N*),证明：数列如是等差数列;类型 4 a = pa + qn (其中 p，q 均为常数，(pq(p -1)(q -1)。0)。 (或 a = pa + rqn ,其 n+1nn+1n中p，q, r均为常数)。解法：一般地，要先在原递推公式两边 同除以qn+1，得：巳=p +1引入辅助数列b (其中 qn+1 q qn qnb = )，得：b =b + 再待定
3、系数法解决。n qnn+1 q n q例4:已知数列a 中，a = 2, a = 2a + 2 n+1，求 a。解题的大致思路：b = 2b + 2n ( n 2 ) 7 = n 1 +1 7 = n 1 +1 nn-12n 2n2 n 2 n-1类型5递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn= f (a)S (n = 1)解法：这种类型一般利用。_ s(n2)与。广S - S 1 = f (a)- f (a消去Snn-1(n 2)或与S = f (S - S(n2)消去q进行求解。(II)求aj的通项公式。例5已知数列a 中，a = 1，前n项和S = 2a。(I)求a，a ； n1n 3 n
4、23解：（1）由a = 1与S = *2 a可得1 n 3 nc 2 + 2c cS = a = a + a n a = 3a = 32 321221S = Wa = a+a +a n 2a3 3312333故所求a?,a3的值分别为3,6。- n + 2- n +1（2）当n - a 、 例 7 已知 Q = 4， a 1 = 2，求 a。 时，S 3 a S 1 = -3a 1 n + 2 n +1一可得Sn -Sn 1 =-气气即n-1 n +1 a n +1O 丁 an 丁 an-1 O 了 = n-1 n-1a .a .故有 a n- X n_1 Xn-1n-2a n +1 n 3、
5、 n 2 + n xt x a =xx x 一 x 1 =112 +1n2 + n而一2 = pa + d ,1 d 1 p 1思路（转化法）：对递推式两边取倒数得了=?a，那么=c-+c，令bn=，这样，问n+1nn+1nn题就可以转化为类型一进行求解了。 =。，所以M2的通项公式为a 2例6设数列a 前n项和为S，数列s 的前n项和为T，满足T = 2S -n2，n e N*.nnnnn n（1）求a1的值；（2）求数列a的通项公式.【解析】（1）当n = 1时，T = 2S -1。因为T = S = a，所以a = 2a -1，求得a = 1。11111111（2）当n 2 时，S =
6、T -T = 2S -n2-2S 一-（n-1）2 = 2S -2S 一-2n +1，所以S = 2S + 2n-1 所以S = 2S + 2n +1 -得a = 2a + 2，nn-1n+1nn+1na + 2a + 2 一所以 a + 2 = 2（a + 2），即 =2 （n 2），求得 a + 2 = 3，a + 2 = 6，则 =2。n+1na + 212a + 2所以an + 2是以3为首项，2为公比的等比数列，所以 a + 2 = 3- 2n-1，所以 a = 3- 2n-1 -2，n e N*。nn类型6 a = C 气 （c丰0 ）n+1 pa + d. 1 2a +1 1 1
7、 1 A 11 7 、 、解：对递推式左右两边取倒数得了 = 2 即 了 = 2 - +1,令=bn则b= 2bn +1。设n+1nn+1nnb 1 + 口 = 2(b +口)，即日=-2,数列2是以4-2=-4为首项、2为公比的等比数列，则7 口 7r即b2 n+1n2 n+2 72n+12n+1:=n2n+2 一 7类型7周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。a ：3 /例 8：已知数列a满足 a1 = 0, a+1 二 1 (n g N *)，则 a 20=()nA. 0B. f 3C.气3D. 22二、数列求和1、公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。(1) 等差数列的
8、求和公式：S = n(a: an)= na + n(n D dn 212na. (q = 1)(2) 等比数列的求和公式Sn = a；(1- qn) (q o 1)(切记：公比含参数时一定要讨论)I 1 - q2、错位相减法：比如E 等差,如等比，求ab + a b + a b的和.nn112 2n n3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式：1=】_ 11 n1 1)11, 11、 (一 ) =() n(n +1) n n +1 ； n(n + 2) 2 n n + 2 ； (2n - 1)(2n +1) 2 2n -1 2n +14、分组求和法：把数
9、列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。5、 合并求和法：如求 1002 992 + 982 972 + 22 12 的和。6、倒序相加法：如求sin2 1 + sin2 2 + sin2 3 + sin2 89的和。1.求和： s = 1+11+111+n1on个 S = (X + + (X2 + )2 + + (Xn +土)2nXX 2Xn思路分析：通过分组，直接用公式求和。解:a = 11-1 = 1 +10 +102 + + 10k = !(10k -1) k 9111 10(10n -1)10n+1 - 9n -10S = (10-1) + (102-1) + .+
10、(10n -1) = ,(10+102 + .+10n)-n = -n=81 S = (x2 + + 2) + (x4 + + 2) + + (x2 n + 2)/、, 111、 c=(X 2 + x 4 HF x 2 n ) + (一 + HF ) + 2 nX 2x 4x 2 nx 2( x 2 n 一 1)x -2( x -2 n 一 1)(x 2 n 一 1)( x 2 n+2 + 1)(1)当 x 主 1 时，S =-+-+ 2n = 1)+ 2n(2)当 x = 1 时,S = 4nn总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q = 1或0。1讨论。例2.已知数列1,3。,5。2
11、,，（2n -1）an（a丰0），求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1, 3, 5,2n-1与等比数列a0,a,a2,an-1对应项积，可用错位相减法求和。解：S = 1 + 3a + 5a2 + (2n -1)an-1 G)aS = a + 3a2 + 5a3 + (2n 1)an (2)G)-(2): (1 - a)S = 1 + 2a + 2a2 + 2a3 + 2an-1 - (2n -1)an当 a 丰 1 时,(1-a)S = 1 + 2a(1 一 a-1) - (2n -1) nn(1 - a)21 + a - (2n + 1)an + (2n -1)an+1 S n(
12、1 - a )2当 a = 1时,S = n 2n例 3.求和(1)t1;,：，二，/ 1 c、 1x 3 2 x 4 3 x5n(n + 2)思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.&11,11、解(1)Y r=( 一二.)，n(n + 2)2 n n + 2S = (1-) + (_ - ) + (_ - ) + (n 232 43 5 n1n +1 Jn1；(2) a =；n 、/n + *n +11 V_1,1 111、)=(1+ ). n + 222 n +1 n + 2(2 ) a = -=.= ，n n + ：n +1 (n + Vn + 1.)(气 n +1 - Sn)11=n
13、+1 -眼. Sn 2/1 +Z3K +=(灵-1)+(；3-克)+1v n +1 + * n+ (、：n +1 - (n) = wn +1 1.例4.已知f (x) = a x + a x2 + a xn,且a , a , a，a成等差数列，n为正偶数，12n123 n 又f二n2, f (1) = n，试比较f (1)与3的大小。I f (1) = a + a + a +f a = n 2解：12 nf (1) = a + a 一 a + a七 = n2 .何+a广2nn ,，j d = 2d = n2=2n 1a + a + (n - 1)d = 2nd = 2 1 = nf (x) = x + 3x2 + 5x3 hf (2n 一 1)xn12+2 + 5(2)3 + + (2n 一n可求得 f (2) = 3 (2)n-2 (2n 1)(2)n，.n 为正偶数，f (2) 3
