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1、题目：储油罐变位对油位高度及储油量的影响摘要加油站的地下储油罐通常有立式和卧式，本问题讨论的是卧式储油罐。一般储油罐使用一段时间后，由于地基变形等原因，会使罐体的位置发生纵 向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。为此我们需要对罐容表进 行重新标定。影响油罐标定与计量的因素通常有油罐围测、压力、温度、油罐倾 斜和蠕变。本文着重分析油罐变位对其造成的影响，并对罐容表进行重新标定。对问题一，我们通过微元法算出罐体无变位情况时罐内油位高度与储油量的 关系式，然后推导出变位后油位高度与储油量的关系式，再用MATLAB7.0算出 油罐变位后的罐容表的标定值，通过对题中采集的实验数据进行比较，罐体
2、变位 后罐容表所测的值要比真实油体体积小。对问题二，在问题一的基础上，同样利用微元法求出无变位时罐内油位高度 与储油量的关系式，在利用油罐在纵向倾斜和横向偏转时的油液高度转换式，求 出油液体积、变位系数、油体高度之间的函数表达式，再利用最小二乘法求出变位参数a = 2.1。，&二2.3。，从而可以得到罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐 容表的标定值。通过所给的数据进行模型的正确性与方法的可靠性进行检验并确 定a, p的变化范围。关键词：罐容表标定变位参数微元法最小二乘法、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的 “油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进
3、/出油量与罐内油位高度 等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实 时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照 有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形 状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意 图。现在要求我们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的 问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，我们需要利用小椭圆型储油罐 （两端平头的椭圆柱体），分别对
4、罐体无变位和倾斜角为以=4.1的纵向变位两种情况做实验，并得到相应的实验数据。我们需要通过建立适当的数学模型研究 罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标 定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，题目要求我们建立罐体变位后标定罐容表 的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度以和横向偏转 角度。）之间的一般关系。要利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据， 根据我们所建立的数学模型确定变位参数，并需要给出罐体变位后油位高度间隔 为10cm的罐容表标定值。进一步利用实际检测数据来分析检验我们模型的正确性 与方法的可靠性。图2储油罐纵向倾斜变位后示
5、意图二、问题分析仔细分析题目的要求以及所求问题，这是一种解题思想简单，计算能力要求 很高的问题，具体表现在以下两个方面：一是解题思想简单。对于问题一，我们只需要考虑倾斜角度对油液体积与油 液高度的函数关系式的影响，仔细分析发现，倾斜后油罐油液的体积不变只是油 液高度发生了改变。因此我们可以直接建立倾斜后油液高度与变位前油液高度的 关系式，就可以通过变位前油液的体积推导出倾斜后油液体积与油液高度的关系 式，从而可以研究罐体变位后对罐容表的影响，得出罐体变位后油位高度间隔为 1cm的罐容表标定值。对于问题二，我们也只需要考虑纵向斜角度与横向偏转角 度对所求问题的影响，直接通过纵向倾斜与横向偏转的高
6、度变化式确定变位后的 油液高度与油液体积以及变为参数之间的一般关系式。二是计算相当复杂。不论是问题一还是问题二在确立油液高度与油液体积之 间的函数关系式，都无法逃避油液体积的计算复杂性，一方面积分难度大，另一 方面算式表达式长。基于上述分析，我们对于问题一与问题二，我们都可以根据油液高度变化时 的函数关系式，把未变位时油液高度与油液体积的关系式转化成变位时油液高度 与油液体积的关系式，对于问题二的参数变位我们可以通过最小二乘法拟合出。三、模型假设 假设在整个进出油过程中没有油空或油满的情况; 忽略压力、温度及其它因素对其标定值的影响； 假设储油罐在使用完一段时间后的形状没有改变; 假设油罐里的
7、进油与出油整个过程具有连续性； 以油罐里的油浮子显示的高度为油位高度； 在油位高度测量过程中油浮子处于稳定状态； 油位测量过程中不计注油口与出游管残余的油量。四、模型建立与求解4.1对问题一建立相应的数学模型 4.1.1罐体无变位时的函数建立及检验 4.1.1.1建立罐体无变位时油位高度与储油量的函数关系如图所示，设椭圆柱型卧式油罐的罐身长为L，横截面上椭圆的半长轴是a, 半短轴是b,则罐身的全容积是：V=n abL若在罐身的横截面上建立如图所示的直角坐标系，可知椭圆的方程为：尤2 V 2 一 + =1 a 2 b 21tmLfar2.45 my根据积分的概念，可知选取的体积元dv = S (
8、 y1) dy所选取椭圆柱体横截面的面积S ( y1) = 2 xLx 2 y 2a r.+ = 1 X 二一vb2 - y2 a 2 a 2bb -bV=2L a jh、b 一 y2 dy= aL h b2 -h2 +b2arcsin + n b2 l bb 2Vh = H -b 2.可得当高度为H2时油罐内的油体体积为：V = a L (H -b ) JH (2b H ) + b2arcsin (4-1) + 1 n b2 (41)b 2% 22b2即得出油位与容积的关系。4.1.1.2对无变位油体体积方程的检验为了验证（41）式的正确性，我们需要根据采集的实验数据对其进行检验。 先对所给
9、数据的单位进行换算，将油位高度化为米（m）,累加油量化为立方米（m3），并在所给累加进油量的数据基础上加上罐内油量初值262L。由前面对采集的数据进行处理以后，将其代入（1）式，我们用MATLAB7.0 程序对其进行检验：编写M 文件并在命令窗口输入，见附录1：其检验结果的比较见附表3我们对附表1中的数据绘制图形（如下图）。图中+表示采集的实验数据 的图形，实线表示检验方程所得出的数据的图形。通过比较分析我们得出其误差不大，数值很接近。4.1.2罐体变位后函数的建立及检验4.1.2.1建立罐体变位后油位与容积的函数关系将倾斜液高（H）变换为垂直罐底的液高（ ）后，再将H1转换为水平状态下液高(
10、H2)由图可知，WP=H, QG= H 1, FG=D, QO=L1, CO=L, FW=(D-H 1) cosa2b2bFP= 一-WP=FPFW= 一- -(2b-H 1) cosa贝uH=-2 -(2b-H 1) cosa，整理得H 1 = -2btg2 a利用矩形面积等于梯形面积的方法，求出H2与H的关系。AB为倾斜时的液 面，EK为水平状态下的液面，矩形面积S EKoC =H2 L , 在梯形 ABOC 中，BO= H 1 + L1tga， AC=BO-L tga，1.林形面积 S*广 *BO+AC)L，令 N= H 1 + L1tga，11则 S二(N+N-Lg tga )L= (
11、2N-Lg tga )LABOC 221因 Sekoc =S aboc，则 H2 L= 2 (2N-Lg tga )L，即H2 =N-| tga将 n= H 1 + L1tga = -2btg2 a + L1tga，代入得，H 2 = -2b tg2 a +( L1 -1 )tga(42)即得出H与H2的关系则由式(41)、(42)可以求出变位后油体体积V的函数表达式如下：V= -L (H -b ) -H (2b-H ) + b2arcsin (H2 -1) +-n b2，b 、2/ i 2、2、b 2其中 H2 = H 2btg2a + （ L1 - ） tga当液面低于C点时，利用矩形面积
12、等于直角三角形面积的方法导出H2与H 的关系式（或h与n的关系式）为：h=Ln22 2此时底长二六只女，分别把L、H2带入到卧式时油液高度与油体体积的 函数关系式里，即为液面低于C点时的函数关系式。4.1.2.2对变位后油体体积方程的检验我们用MATLAB7.0程序对其进行检验：对油罐倾斜后建立模型，见附录2：其检验结果及其比较见附表4.我们对附表4中的数据绘制图形（如下图）。图中+表示采集的实验数据 的图形，实线表示检验方程所得出的数据的图形。4.1.3罐体变位后油位高度间隔1cm的罐容表标定问题由函数关系式V= - L (H b ) JH (2b - H ) + b 2 arcsin (L
13、 1) +-n b 2， b 222b2其中 H2 = - 2b tg2 a + ( L- L ) tga利用MATLAB7.0编程可以算出变位后油位高度间隔1cm的罐容表标定值，其 结果见附表5。4.2对问题二建立相应的数学模型4.2.1计算卧式储油罐的体积题中所给的卧式储油罐可以分成三部分来进行求解，一是中间的圆柱体，另 外是两端的球冠体。其总的容积就是三部分相加。为了计算的方便，我们先计算 下图3里的虚线下面部分的体积，其中r表示球冠部分的半径。图3体积计算的模型4.2.1.1计算中间圆柱体部分所剩余油料的体积V 1如下图4所示图4圆柱部分油料剩余体积的计算亳面只需耍计算截面面积S撤面，
14、利用微积分,显然,所以贝U匕以）=LS亳二 Lh仙-护-LIArcTan4.2.1.2计算两端球缺部分所剩余油料部分的体积由于左右球冠两部分对称，所以我们只需要计算其中一个。下面求S -M：如图6,球的水平截面是个圆，半径图6水平截面的半径如图7, S水平（h）就是阴影部分的面积显然:Irh J/w $水平(方)=j-s? ds = J 2jr2 -h2 -s2dsr-Hr-H计算得：IS弋平(分)二(H -尸 一 Hf r2 -h | + (A2 - rJ 1 ArcTan ( “2IJzhfl 护 lH、)从而) = &平(河= hlHf -h-H2 +(r2-h2)-(h2-r2)ArcTan,dh_ hr2 _ 招2-H1 _-Hz 26332raArcTany/lHr-h2 -H2 ;h(r-H)、于是，得到了图3所示部分的体积计算公式（扪=叩#） + 2顷扪另外，参数r并不是独立的。事实上，如图8可以看出，它可以由H和R 计算得到。利用勾股定理： -R:=”则可以计算得到：r=（R2+H2）/2H将上式代入衫以)=中加+ 2*(%)=仍廿-号一 + hLR A - : hyfr1 - R R -h2+ LR1 -r - R1 2rz + RArcTan I 3 V J) 7舟-八+ (h3 3hr2 ArcTan(1) R
