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1、一元二次方程的根的判别式【学习目标】1. 知道什么是一元二次方程的根的判别式.2. 会用判别式判定根的情况.【主体知识归纳】1. 一元二次方程的根的判别式：b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+ c =0 (aO)的根的判别式.通常用符号“”来表示.2. 对于一元二次方程ax2 + bx+ c= 0 (az 0),当4 0时，方程有 两个不相等的实数根；当 = 0时，方程有两个相等的实数根；当0,不要丢掉等号.4. 判别式有以下应用：(1) 不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2) 根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3) 应用判别式进行有关的证明.例题精讲】例 1
2、：不解方程，判别下列方程的根的情况：2(1) 3x 2x 1 = 0;(2) y2= 2y 4;(3) (2k21) x22kx1=0；( 4) 9x2( p7) xp 3= 0解：(1) =( 2) 4 x 3x( 1 )= 4+ 12 0，原方程有 两个不相等的实数根(2) 原方程就是 y 2y + 4 = 0.T =( 2) 4x 1 x4 = 4 16 v 0,二原方程无实数根.(3) v 2k2 + 1工0,二原方程为一元二次方程.又/ =( 2k) 2 4 (2k2 + 1)x 1 = 4k2 4v0,二原方程无实 数根.(4) =( p+ 7)24x 9x( p 3)=( p 1
3、1) 2+ 36，v不论p取何实数，(p11) 2均为非负数，(p 11)2 + 360, 即卩 0,原方程有两个不相等的实数根.说明： (1)运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况时，要 把不是一般形式的化为一般形式.(2)判别式的应用是以方程ax2 + bx+ c = 0中0为前提条件的， 对于含字母系数的二次方程要特别注意这一点. 要判断含字母(代表实数)的二次式的正负等情况，配方是个有 效的方法，如(4)小题.例2：已知关于x的一元二次方程(k 1)x2 + 2kx+ k + 3= 0. k取什 么值时，(1) 方程有两个不相等的实数根？ (2)方程有两个相等的实数根？ (3) 方
4、程没有实数根？解：= (2k)24 (k 1) (k+ 3)= 8k + 12.(1) 当一8k + 120,且k 1工0, 即卩kv |且k工1时，方程有两个 不相等的实数根；(2) 当一8k + 12= 0,且k 1工0,即k= |时，方程有两个相等的实 数根；(3) 当一8k + 12v 0,且k 1工0,即k1时，方程没有实数根.说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二 次项系数不等于零.例3:求证：不论a、b、c为何值，关于x的方程(bx)2 4(a x)( c x) = 0必有实数根.剖析：此题考查运用一元二次方程根的判别式的能力，由于所给方 程从形式上不能直接判
5、断出方程的类型，因此应将方程进行整理，得-2 23x + (4 a + 4c 2b) x + b 4ac= 0,显然是关于x的一元二次方程，所 以只要证明0即可.证明：略说明：判断一代数式的正、负时，通常的方法是将其进行恒等变形， 配成完全平方式，再利用其非负性的特点进行证明例4:如果关于x的方程x2 + 2x=9没有实数根，试判断关于 y的方程y2+ my- 2n+ 5 = 0的根的情况.剖析：要判断y2 + my-2m+ 5= 0根的情况，只要判断 2= vm- 4( 2m+ 5) = m + 8m 20的取值情况即可.而x2 + 2x m 9= 0没有实数根， 可得 i = 24( 一
6、m 9) = 4m+ 40v 0,即mv 10,而当nv 10时，吊+8m-20恒大于零，所以方程y2 + my 2m+ 5=0 有两个不等的实数根.说明：判定 2的值用到了 1v0 所得的结论 mv 10,这种条件和 结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到.【同步达纲练习】1 .选择题(1) 关于x的方程mf+ 4x + 1 = 0有两个不相等的实数根，则 m的 取值范围是 ( )A. mv 4B. m 4 且0D. mv 4 且0(2) 关于 x 的方程 kx2+2x1=0 无实数根,则 k 的取值范围是( )B. kv 1C. k 4q(5) 关于x的方程mix2 2mx( mH 3)
7、= 0的根的情况是()A .当m= 0时，方程有两个相等的实数根B .当m 0时，方程没有实数根C.不论m为何值，方程都没有实数根D.当一1v m 2时，试判断方程根的情况;(2)若方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2,求m的取值范围.6. (1) k是什么正整数时，方程 2x2 10x + 5k = 0有两个不相等的 实数根？(2) k是什么负整数时，方程 x2 4x+ 2 k = 0有两个不相等的 实数根？(3) k是什么正数时，方程(2 + k) x2 + 6kx +4k+1 = 0有两个相 等的实数根？7. 已知 ABC的三边分别是a、b、c,其中a、b的长是方程x2 4( .3 + 1)x + 16 .3 = 0的两个根，且ab,关于x的一元二次方程a(1 x2) + c(1 + x2) + 2bx= 0有两个相等的实数根，求 ABC的三个内角的度 数和三条边的长.
