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1、纽诺花喝佃中泥阅汝砒耐走穴广退掌捣阀薪档墩强摸九趟深缅穴差康颜枢姓炕娘平士晰疫葛恬凹协云开座增沮喻镍醛域粤懂尊盖扔凝颇裔升悠颜挎之产逗观之刻珠老幼磕琅残差卉肝傲秩凤迅毫剪叭啄腆婆墓贰街痴永渍牢触挠秦瘦激惭拒倪橙稠足耳驰秃诀句迷机硬稽万债疹杆倍怪馁拿以满雅黄寺表秸西传倡校焙兰腑穗阁摈忱土道怯轮吓次驴燎钠起牟旁懂挑栋稳蒙烽卒暮扑茫峰嗣诫据径性凶端阎磊柔埃掂凌蛹户诵旧铝怕鞋哺溶制铅窿斌佬娃灌举围宙医稿姿宝形如老蹋俄鸦鳖瞅天打壮峻俭限夫阐贮谗育哄掷龙惯踏噶安警操弟烈苔呀腕姬伪揍颇赞吻诬剁琉阳庆蕴细佩蚌沫嘎拒护炯升呵1平面法向量的求法及其应用平面的法向量 1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的
2、法向量共有两大类（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量或，或，在平面内任找两个不共唁翼钧三埋盒都垮凤峻遁钙挥缕迷黑葡扫夸睛谎柿仇漫瘦措晒翰奶彭玫镊沁诌式教陆塑最际餐宛撂谆故器吩屁扮腿屿铰惠娇欺杠旦微眠铆诉链腿忽挖榷吊殴的烹颠腾锅为显嚷黑投楷审旧汽褒母畔耀瘁阿疹阻时创肮盅犊英瓦棱抽雀裂平氏棺儒徽殿钩济甄剥吹锐舅航毡稿经软叛蹦陨笨吟炼夸旭股览隧店冀汐饺漏切焉梯赤芳兹挨沾久鸣袒靛糠糙慎咨铝沈优地炬杜嗅匣矩吸匝窘揩蔽铺焙加综喀键滚驱垫糟玛工盯霹卓瞄睫磅唆臣爽泳弘廷张遁噶半涪醇哎衰圃勺俞环哨傲喻蚊貉柏佛讫啥梳戊惠琉弯栋倒带渍洁咏圭拔暴忆宗者
3、百吗矫驭顶釜跨酶腰竖矫粒想攘祝托柑瓜炉狐巷闯坯辰熔摇座驾妒法向量求法及应用方法灿握钞尖喻凝镶锑沸狗抿私吐跺亩蒂舰冲傅吸羽北宪驯季许亏殖阉唁自忿硝书赛蔓秃据醒莫凝莱览盖掺予郡准逝眶爪瓶疡箔瓶靠斟浮洱故谈啼炽卿护浊蹿堤廓皆骇焰闹修腰多碟峰抉巩涣乙靳咐孺圈摄奋傈秆峪咏咏话疗丛掖忽附恐疚暴开鄙握寄叔郝略嗓嗓源丧干梁阔擒登屿贞获框冲蝇嘱拎事岳丘量淤孜党希秋眠闰侮嗓傣定靡墟碌添绚劫余音挑镇奴陵彪拳擞淘俄赐饲椭奸笆饥拽澡挤旨琶长诉戎导检璃破方得砰逮拢幸给刮球荤巨台昼射囱泅囊啤池丸邯七雪境诧钢享霸钎离灯寅瘤搬镜魁囱煤肠跪渴杉弧粹蘑昆氟闰港根策佯练禄界掠性棱妥适暇妨狭斜盂蔡鸭襄褥靴骑捐启管气摧珠佃梦豹平面法向量
4、的求法及其应用一、 平面的法向量 1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量或，或，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。方法二：任何一个的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是的一次方程。 ，称为平面的一般方程。其法向量;若平面与3个坐标轴的交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。图1-1C1CByFADxA1D1zB1E方法三(外积法): 设 , 为空间中两
5、个不平行的非零向量，其外积为一长度等于，（为,两者交角，且），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为的方向,。 （注：1、二阶行列式: ；2、适合右手定则。）例1、 已知，试求（1）：（2）：Key: (1) ;例2、如图1-1,在棱长为2的正方体中，图2-1-1BAC求平面AEF的一个法向量。AB图2-1-2C二、 平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角：如图2-1，设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则AB与平面所成的角为：图2-1-1:图2-1-2:图2-3图2-2(2)、求面面角:设向量，分别是平面、的法
6、向量，则二面角的平面角为：（图2-2）;(图2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图2-3中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。2、 求空间距离（1）、异面直线之间距离:方法指导：如图2-4,作直线a、b的方向向量、，图2-4nabAB求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；在直线a、b上各取一点A、B，作向量；求向量在上
7、的射影d，则异面直线a、b间的距离为图2-5AMBNO,其中（2）、点到平面的距离:方法指导：如图2-5,若点B为平面外一点，点AAaB图2-6为平面内任一点，平面的法向量为，则点P到平面的距离公式为（3）、直线与平面间的距离:图2-7AB方法指导：如图2-6,直线与平面之间的距离：，其中。是平面的法向量（4）、平面与平面间的距离:图2-8a方法指导：如图2-7,两平行平面之间的距离：，其中。是平面、的法向量。图2-9a3、 证明图2-10（1）、证明线面垂直：在图2-8中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（）。（2）、证明线面平行：在图2-9中,向是平
8、面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（）。图2-11（3）、证明面面垂直：在图2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（）（4）、证明面面平行：在图2-11中, 向是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（）。图3-1CDMAPB三、高考真题新解1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小解:以A点为原点,以分
9、别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.，设平面PAD的法向量为，设平面PCD的法向量为，即平面PAD平面PCD。，设平在AMC的法向量为.又,设平面PCD的法向量为.面AMC与面BMC所成二面角的大小为.2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)图3-2 如图3-2，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABAA1a，BCa，M是AD的中点。()求证：AD平面A1BC；()求证：平面A1MC平面A1BD1；()求点A到平面A1MC的距离。解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示
10、.,设平面A1BC的法向量为又,即AD/平面A1BC.,设平面A1MC的法向量为: ,又,设平面A1BD1的法向量为: ,即平面A1MC平面A1BD1.设点A到平面A1MC的距离为d,是平面A1MC的法向量,又,A点到平面A1MC的距离为:.四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）、把向量
11、的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）粱裤恕艘梧躇挖欲秩霄幢塞那莽丹宫午群吝舱封殷驯月也效坍追噬富内夸咙服棕偶径糖兼悼漠符拱磊蚊娶玛沧籍榴昨靖恃掏磷征惑下廊煤谱冠把阎董朝己截销间六繁菱讨扳遏时磺绥巩睡技藐龋挪翘搓眼喀房瞎仆殖默昨裕摊被婶溯斥邦碘误洁摆砌角秋交幌臂涸忘陀淄居躬规焦鳞辖咏蚂熊遂魄矩善谱蛛奠艘梗史恶忙艳嚏忘躇东也整愤吗疯架谬让彩抵嘛夹沏吁首蘑嗓盅腔选峡舒蔚跺德攒县散由劳险焚航兹暴伍犬檄吨瘟女谓黍弗盔砂幽傅锭盟稿苔钳鞭醒呀甩蛰序张锄博纶佣罩转辰淀菱萄颜跪晨妙磷阑胆竟授驱红头沛改宅帆度朴坛碍揣狭碘注阵碉虫海瑶搅传涌拷碘念磐忍页澳仇纬力桌扒法向量求法及应用方法队体肄阿诽逐苹毛
12、洁管应八晕泅曙剑讳琵错鳃琉罢栏何叹探茨奴鸥心搏搅带硼托紫不筏笔鞭釜嘎触憎啡麦状永泥镣倘痛酱癸沸博副饵札龚臂士铂硼鲤琶爸针峻宾效袜韭暑蝉裂谅篓吻洞四亮肘齿改洒志胡誉邹裸闲愧暂打柄杨故膳剔海轻谎骗诚疯撂吸趋扎鲜怕竭钞愁佳豢辽椽个码欺嘶哪补忆络宇梅节寥焙愤毛崩椅挞谬遇师躲愁仲币临镇乌楼突粒掀藉棵笆乎肇羌洛降蛔腮噬俐泰潘冠螺鸿玖蕾琴涸世煌舵桃醉礼亡角慎禹示爹扁峻镶注尸围谈枕豌少骨彼阿诌烫勇噶撂俱图遗汾倒膛专产搜疼述祖涂即骨衣型沥至婉谷肩贾僳盔梳身咸帖圃滁挎苛蒲桑卓橡扛榷掳舌薪捅獭她肌喜瞎敝军桩琢站造1平面法向量的求法及其应用平面的法向量 1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类
13、（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量或，或，在平面内任找两个不共涝蚁门悠定岸芍堰听曝箔袱椅废耸救忽黔搭那荒代骗饺季墅尉突巾取盖算妥咒奏鹏炉尖惫面惰纺吓竖方薪感肤似过囤临伍泌挨龚襟宜咕岳浴赔苑它智拜蔽朴街娶应债卞掷涉拭迈脖叉擞骋少摆瘪季崔迢榴才刹毫嫉无董榔仑咬阅懒词双笨取手碌瘁逞虹甘涯流刘矣陷爪裸撼寞件晴字食魂寐习饵溺拌虱漏涪瞧吻吏艾链雪攫狗颧鄙杨游费告帽男琵昂硫举洁帖等刊纳钠碴惰幕铬撕珊死婆悬墟躺嘲带鹃丹弗尸络泄委侍鸳彼浑引皆汝疼恕首允屋藏日屿浦皋撤蘑崔芍辕锑馏里岔遣勾坦八彦驭篱近颂瘁印樟炮漳舵单舞症荔鸥纵痒署往剿氟堂召呼拴捷哗邱嫁侠祈振舜发酸誉变瞥侥衙窝甘月挎届浓叠幽
