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1、余弦定理教学设计洛南县职教中心 郝夏季内容和内容解析内容：该内容为中等职业教育国家课程改革国家规划新教材数学拓展模块第一章三角公式及应用第三节正弦定理和余弦定理中余弦定理第一课时。内容解析：教材上对该节内容的编排次序是：初中以直角三角形为背景学习了锐角的三角函数；到高中后学生在基础模块（上册）中学习了任意角的三角函数的概念、平面向量和相应的基础知识；然后在拓展模块中学习三角公式和正、余弦定理。教材上这种螺旋推进式编排次序是充分考虑到职中学生的认知特点和学习规律的。该部分内容是前边所学基础知识的综合应用，它体现了数学知识的应用价值。该部分内容现行教材上没有采用向量知识来解决，而采用了学生初中和高
2、中习以为常的直角三角形为依托，利用了勾股定理，锐角三角函数等知识。尽管向量法简洁，但毕竟学生是高中初接触，并非常用。在该部分知识的学习中，对余弦定理的揭示和它背后隐藏的数学思想方法的感悟是重点，同时也是教学难点。通过该节课的学习不仅使学生理解余弦定理内容和实质，同时还要让学生认识到余弦定理在解决实际问题中的重要应用价值，更重要的是让学生在经历余弦定理的推导过程中，感悟到由特殊到一般，由具体到抽象以及转化与划归的数学思想方法，并且学会用这种方法探究数学知识，进而实现从“学会”到“会学”的飞跃。目标和目标解析：目标：使学生经历余弦定理的推导过程，理解余弦定理的内容和实质；体会余弦定理的应用价值，养
3、成应用数学知识解决实际问题的意识；会熟练的应用余弦定理解决数学问题；感悟从特殊、具体到一般、抽象以及转化与划归的数学思想方法，并将这些思想方法内化为自己的学习方法。目标解析：为了达到上述教学目标，教师在教学预设时，要充分考虑到职中学生的数学基础和认知特点，预设要“低起点，高立意”。要从学生最熟悉的特殊情况入手，使学生思维的切入点尽可能从学生熟悉的知识入手。如在设置第一个问题时，知两边及其夹角，这个夹角的选择选成300就较为合适，利于学生联想到初中知识300的角所对直角边为斜边的一半，进而想到直角三角形，而此时所给的三角形中无直角三角形，产生认知冲突，解决的办法是做高构造直角三角形。其次在解决问
4、题的过程中，要让学生学会解决问题的方法，就是所给问题现在知道什么，要求什么，怎样实现由已知到未知的联系，即把未知用已知表示，求出未知的思维方法。教学问题诊断：该部分内容由于是在学生多次学习的基础上的学习，所以所用到的知识对于学生来说并不陌生，接受起来也并不困难。如初中所学的锐角三角函数，勾股定理等知识，还有基础模块中所学的同角的正余弦平方和等于一等知识都是学生熟悉的。教学的难点在于怎样让学生来“自然地”推导出余弦定理；怎样让学生感悟到在推导过程中蕴含的数学思想方法，并且将这种思想方法内化为自己的学习方法和习惯；怎样从“学会”到“会学”？基于此，教师在教学中要利用及时评价充分的调动学生学习的积极
5、性和学习热情，使学生深度参与到学习活动中来，每一个关键的知识点都要让学生探索发现，而不是教师直接告诉。教师要千方百计突破“是怎样想到的”，即是什么触发了你，是哪一块或什么条件给了你启示，抑或是哪一部分使你联想到相关知识而使问题得到解决。在结论的抽象提炼过程中，教师要引导学生把探索过程中的感悟、发现能准确无误地表达出来。由于该部分知识接受起来不是很难，故要在思想方法上多下功夫，要在学法指导上多下功夫。教学方法：采用师生互动的方法。学法指导：引导学生学会从特殊到一般，从具体到抽象；分类讨论以及转化与划归的思想方法；类比的思想方法。教学支持条件：为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，
6、借助计算机工具，直观演示，使教学更直观，更有效。教学过程： 师：昨天我们学习了正弦定理，那位同学能站起来回答一下正弦定理的内容和它的用途。设计意图复习前边所学的内容,为下边的学习做好铺垫.预设回答生1:三角形各边与它所对角的正弦之比相等;其表达形式为:;用它可解决两类问题:知两边及其一边的对角,解三角形;知两角及一边解三角形.师:生1记得很准确,回答的也很完整.下来我想再问一下我们是怎样研究、发现正弦定理的呢？设计意图复习前边的学习、探究方法，为后边的学习提供方法的准备，同时起到强化数学思想方法的作用。预设回答生2.我们先从直角三角形入手，得出正弦定理，然后再类比到锐角三角形和钝角三角形中也有
7、这样的结论，进而经过验证，最终得到正弦定理。师：生2说的很对，但还不够简练，谁能用最简洁的语言概括一下？生3：我们用了一种从特殊到一般、分类讨论和类比的思想方法。师：棒极了。现在我有这样一个问题，同学们思考一下怎样解决。问题（一）：（用投影仪打出问题）如图，要测量一条穿越大山的隧道的长度，技术人员在河谷的平地上选一点C,测得AC=352m、BC=570m,还测得C=670，求隧道AB的长。该问题就是知道三角形中两边及其夹角，要求第三边长的问题。要解决这个问题，我们先从简单的例子入手。例：在三角形ABC中，b=3,c=4,A=300,求a的值。设计意图从简单问题入手,引导学生探索解决方法;激发学
8、生的探索欲望,为下一个问题的解决作方法上和知识上的准备.（教师给学生留了大约五分钟的思考、操作时间）师：该问题哪一位同学解决了？起来说说解法。（教师鸦雀无声）过了一会。预设回答生4：好像用前边所学正弦定理没法解决。师：其他同学是否想法和同学4一样？（短暂的沉默之后爆发出齐声回答：“是”。）师：我们再重新审视一下我们的问题；该问题实际上是知两边及其夹角，求第三边。这与我们以前所学的用正弦定理解决的问题不一样，故不能用正弦定理来解决。但是这个问题是实实在在的问题，我们又不能不解决，所以我们需另辟蹊径，寻找新的解法。现在我们再理解一下该问题的条件，看看是否能从条件中得到我们解决问题的启示？预设回答生
9、5：我感到300的角很特殊，它使我想到了“300角所对直角边是斜边的一半”。师：生5说的很对，也很善于联想，希望同学们都能像她一样在遇到问题时善于联想，从而找到解决问题的思路。（不等我话说完，生6就站了起来）预设回答生6：她说的结论在直角三角形中才成立，而现在的图上连直角三角形的影子都没有，何谈一半？预设回答生7：我们作一个直角三角形不就得了。师：怎么做？预设回答生7：过B点作三角形的高即可。师：只能这样做吗？过B、C是否也可以做高？预设回答生7：也可以过C点作高，但不能过A作高，否则破坏了特殊角300。在三角形ABD中，根据300的角的性质和勾股定理就可以求出三角形ABD的边AD,BD的长。
10、师：生7说得对极了，学习数学就要积极主动，象生7一样要善于联想，善于发挥，“得寸进尺”、“蹬鼻子上脸”，我们的问题就一定能够解决(全班学生会意的大笑）。预设回答生8.根据生7说的，就容易求得DC,进而在直角三角形BDC中利用勾股定理就可求得AC的长，问题解决。师：现在我们已解决了我们的问题（一），我们主要是通过做高，构造出直角三角形，然后在直角三角形中利用直角三角形的知识来解决。由于直角三角形我们很熟悉，所以我们将我们不熟悉的问题通过转化，转化成我们熟悉的问题来解决，这种转化的意识和思想，对于我们今后的学习十分重要，希望同学们能在以后的学习中注意和自觉使用。问题（二）：在三角形ABC中，b=3
11、,c=4,A=450,求a的值。设计意图对前一问题中得到的知识方法进行内化,为下边的问题的顺利解决做铺垫.由于有问题一的解决经历，同学们很容易就解决了问题二。问题（三）：在三角形ABC中，b=3,c=4,A=550,求a的值。设计意图在前一问题的基础上进行适当的延伸,实现从特殊向一般初步过渡。由于有问题一二的解决经历，同学们很容易就想到了作高构造直角三角形，利用直角三角形的知识来解决问题。但由于550的角不特殊，同学们解决问题之旅受阻。预设回答生10：该问题我通过做高构造直角三角形，但在直角三角形ABD中，由于550的角不特殊，下来我就不知道该怎么解决了。（全班同学陷入了迷茫）师：现在大家再在
12、直角三角形ABD中看，题上都知道什么，要求什么，通过什么知识可以实现已知和未知之间的联系。预设回答生10：我知道了,可以用角B的正、余弦函数可以把已知边AB、未知边AD、BD联系起来，进而得到AD=4sin550,BD=4cos550,故有DC=3-4cos550,所以在三角形ADC中，以用勾股定理就可以求得b边的长。生10的解法一下子激活了全班同学的思维。有的同学懊悔自己咋就没想到，有的同学向同学10投去羡慕的眼光，预设回答生11.该问题我还可以做一个大胆的推广： 在三角形ABC中，若知道边AB,BC,B,则可以采用同样的办法求的AC的长。师：同学11的想法很大胆，也很有价值，许多重要数学结
13、论都是通过这种方式发现的。希望大家有意识的培养自己这种能力！现在大家根据同学11的想法推导一下，求出AC的长。（过了大约3分钟）预设回答生12.我得出AC2=a2+c2-2accosB.师：如果我将问题变成：在三角形ABC中，若知道边 AC,AB,A，求BC. 在三角形ABC中，若知道边CA,CB,C,求AB. 大家还能求出来吗？全班同学：能！（此时全班同学情绪高涨）师：那么请同学们马上写出结果。（我话音刚落，同学13站了起来）预设回答生13.BC2=b2+c2-2bccosA.AB2=a2+b2-2abcosC.师：你做的真快！预设回答生13.我压根就没做，我是根据前边的推导过程直接写出来的
14、！师：你觉得你写的正确吗？刚才我说过，凭直观观察可以发现重要的数学结论，但这些发现都在随后经过了严格的证明和推理。你赶快做的试一下。三分钟之后，同学们陆陆续续得出了结果。我将三个结果重新并列写在一起： b2=a2+c2-2accosB. a2=b2+c2-2bccosA c2=a2+b2-2abcosC让同学们将结论和图像结合起来，进行总结概括。得到余弦定理。余弦定理：三角形一边的平方就等于其余两边平方和减去这两边及其夹角余弦积的二倍。师：该结论我们是在锐角三角形中得到的，该结论在直角三角形中和钝角三角形中也成立，证明的方法和锐角三角形中方法类似，请同学们课后自己推导。应用举例：例1：在三角形
15、ABC中，b=3,c=4,A=600,求a的值。设计意图应用得出的结论解决问题，形成数学能力。解答过程（略）例2：在三角形ABC中，b=3,c=4,a=6,分别求出该三角形中最大角和最小角的余弦值。设计意图让学生熟悉余弦定理用途，并从中总结出用于线定理可以解决的两类数学问题的结构特征。解法分析：首先让学生画图，弄清题上的已知和未知，然后再寻找已知和未知之间的联系。让同学们清楚余弦定理是联系三条已知边和三个未知角的桥梁。其次让学生根据初中所学的知识判断出所给三角形中最大的边和最小的边。学生随堂练习：应用所学的知识和计算器解决本节课开始提出的问题设计意图感悟余弦定理的应用价值，形成学生的数学应用意识，发展学生的数学能力。课堂小结： 1.该节课你学到了什么知识?可以解决什么类型的问题？ 2.从该节课的学习活动中你收获了什么方法,感悟到什么数学思想方法?(划归与转化、从特殊具体到一般抽象、分类讨论等思想方法） 3.你自己在学习活动中感受如何？觉得数学还难学吗？还厌恶数学吗？有学好数学的信心吗？设计意图使学生型
