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1、向量空间判断题(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法：-,k R,作成实数域R上的向量空间()(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法：k : = 0, k R,作成实数域R上的向量空间().(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是V3的子空间(). 所有n阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间Mn(R加勺子空间().n( XX2,，Xn) rXi=1,Xi R为 Rn 的子空间()i :i所有n阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间Mn (R)的子空间()具(冷0,0,人)区人R为Rn的子空间()(8) 若1，2, 3, 4是数域F上的4维向量空间V的一组基，那么1，2，2 V3，
2、3 *4是V的一组基()(9) n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基()(10)设冷，2，n是向量空间V中n个向量，且V中每一个向量都可由i，2，i，线性表示，则二，一,，：是V的一组基()(11) 设1，2，/ n是向量空间V的一个基,如果，一1, 一2/,，,n与1，2,n等价，贝UJ,，二也是V的一个基()(12) X3 关于基 x3,X3 X,X2 1,X 1 的坐标为(1,1,0,0)()(13) 设W 乂为n维空间V的子空间，且V =VVAVs若dim V1 dimdimV 二 n，贝 UV|V2V 为直和(). Vs若(14)设V1 , V2,，Vs为n维空间
3、V的子空间，且V=VV2V1 V2 =0, (V1V2)v3=0, (V1v2Vs4)Vs=。，则V V2 V为直和().(15) 设v为n维空间V的子空间，且V二V，V2 V .若Vi( V.)二 0，则 v v2 V为直和.().(16) 设vv为n维空间V的子空间，且V =v，V2 -V 若Vi(Vj)二0 , i=j ,则 VV2V为直和().(17) 设MM，Vs为n维空间的子空间，且V =V，Vs.零向量表法是唯一的，则V| V2 Vs为直和().(18) 设冷，2, U是向量空间V的一个基，f是V到W的一个同构映射，则W的一个基是 f C 1)，f( ： 2)，f (: n).(
4、)(19) 设V是数域F上的n维向量空间，若向量空间V与W同构，那么W也是数域F上的n维向量空间.().(20) 把同构的子空间算作一类，n维向量空间的子空间能分成n类.().答案(1)错误(2)错误(3)正确(4)错误(5错误(6正确(7)正确(8)正确(9)正确(10)错误(11)正确(12)错误(13)正确(14)正确(15)正确(16)错误(17)正确(18)正确(19正确(20错误二填空题(1) 全体实对称矩阵，对矩阵的 作成实数域R上的向量空间.(2) 全体正实数的集合R 对加法和纯量乘法a二b =ab，k匕=ak，构成R上的向量空间则此空间 的零向量为一(3) 全体正实数的集合R
5、,对加法和纯量乘法a二b = ab，k a = ak，构成R上的向量空间则a E R+的负向量为.(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算：(a, b)一(c, d) = (a c, b d ac),k (a,b) =(ka,kb k(k Aa2), 2构成实数域R上的向量空间.则此空间的零向量为一(5) 全体实一元数组对于如下定义的运算：(a, b)一(c, d) = (a c, b d ac),k (a,b)二(ka, kb1)2a ),2构成实数域R上的向量空间.则(a,b)的负向量为 .(6) 数域F上一切次数Wn的多项式添加零多项式构成的向量空间Fnx维数等于(7) 任一个有限维的向
6、量空间的基 的，但任两个基所含向量个数是 .(8) 复数域C作为实数域R上的向量空间，维数等于,它的一个基为 .(9) 复数域C看成它本身上的向量空间，维数等于,它的一个基为 .(10) 实数域R上的全体n阶上三角形矩阵，对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间，它的维数等于.(11) 向量=(0,0,0,1)关于基2=(2,1,3,1), : 3= (1,1,0,0)% =(0,1,L1加勺坐标为.(12) x2+2x+3 关于 Fx的一个基 x3,x3+x, X2+1, x+1 的坐标为.3(13) 三维向量空间的基r =(1,1,0)2= (10,1),则向量-(2,0,0)在此基下的坐标为.
7、(14) V和W是数域F上的两个向量空间，V到W的映射f满足条件，就叫做一个同构映射.(15) 数域F上任一n维向量空间V都与向量空间 同构.(16) 设 V 的子空间 w,W2，W 3,有 WW 二 w W3 =W W3=o,则 W1W2 W3直和.答案(=1，_、,，、，、，_、，一、/2.、，、, ，、(1)加法和数量乘法(2)1一(0,0) (5) (-a5a2 -b) (6) n 1 (7)不唯一，相a等(8)2;1i,(9)1; 1 (10 卿 1)(11)(1,0,-1,0)(12(0,0,1,2(1 3(1, 1,1)2(1 4)f是V到W的双射；对任意 V , f- )= f
8、 e ) f 6对任意a F,xEV, f(a:)二 af (: )(1 5 F n (1 6 不一-定是三简答题(1) 设V二Mn(R)问下列集合是否为V的子空间，为什么？1) 所有行列式等于零的实n阶矩阵的集合W;2) 所有可逆的实n阶矩阵的集合W2；(2) 设L(R)是实数域R上所有实函数的集合，对任意f,g L(R), . R,定义(f g)(x) = f (x) g(x),( , f )(x) Vf (x), x R对于上述运算L(R)构成实数域R上向量空间.下列子集是否是L(R)的子空间？为什么？1) 所有连续函数的集合W ;2) 所有奇函数的集合W ;,3) WA =f |f L
9、(R), f(0) = f(1);(3)下列集合是否为Rn的子空间？为什么？其中R为实数域.1) W=W=(X1,X2，Xn) |X1+X2 *.+Xn=0,x E R；2)W x x ,x | x = 0,x 尺2=， = ( 1, 2,n)n i ；3) Ws = , (X1,X2,Xn) | 每个分量 X 是整数;设A, X, b分别为数域F上m n,n 1,m 1矩阵，问AX = b的所有解向量是F上的向量空间吗？说明理由.(5) 下列子空间的维数是几？1) L(2,-3,1),(H4,2),(5,-2,4)R3；2) L(x -1 ,1 -X2,X2 -x) Fx(6) 实数域R上m
10、 n矩阵所成的向量空间M (R)的维数等于多少？写出它的一个基.mn(7) 实数域R上,全体n阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？(8) 若：仆2,，n是数域F上n维向量空间V的一个基，1 *2,2叱迅，打二心n,n孔斯也是V的一个基吗？(9) x-1, x 2,(x-1)(x 2)是向量空间F2 x 的一个基吗？(10) 取R4的两个向量尸,。,。)厂2=(1，-1,2,0) 求R4的一个含：一号的基.(11) 在 R3 中求基=(1,0,1),色=(1,1,1),5 = (1L1)到基，A(3,0,1), (2,0,0), (0,2, -2)的过渡矩阵.(12) 在中 F4 求向量=(1
11、,2,1,1)关于基 =(1,1,1,1) = (1,1, 1,1),4 = (1,L1,1) ： 4=(1, -1, -1,1)的坐标.(13) 设W表示几何空间V3中过原点之某平面1的全体向量所构成的子空间，W2为过原点之某平面二2上的全体向量所构成的子空间，则W W2与WW是什么？ W W2能不能是直和？(14) 设 W=L( : 1 ：会：3),W2 = L1)求 WW2和 WW,其中, 乙,% =(1,2, 1,2)，勺=(3,1,1,1)，叫=(一 1,。，1,1)；叫=(2,5,6,5)，舄=(一 1,2,7,3).(15) 证明数域F上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等a b)(16) 设V= 2 *3，n *1线性相关，它不构成基.当n为奇数时，|AF0，故1二22. m %线性无关，它构成一个基.(9)解在基1，X，X2之下有(-1 2 2)(x1,x+2,(x1)(x + 2) =(1,x,x2)111.I。0因上式右方的3阶矩阵为可逆，所以x -1,x - 2,(x _1)(x 2)线性无关，它是F2x的一个(10)解取向量；3=(0Q1，0)，；4=(0Q0，1)，由于1-1000
