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1、-论文4 幂级数在近似计算中的应用文清 江权霞 (指导教师:引兰)数学与统计学院1001班摘要：形如的函数项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个无限次多项式，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数等，利用计算机相关软件，进展近似计算.关键词：幂级数、近似计算1.理论依据以*个幂级数展开式为根底，然后把所需要求的量表达成级数的和，并依据要求，选取局部和作这个量的近似值，误差用余项估计.我们先给出一些根本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项2的近似计算 本节利用两个函数的幂级数展开式来近似计算，在一样的误差条件下，取不同的，假设取级数的前n项和作为的近似
2、值，对应的n值不一样，这就为幂级数在近似计算中的应用提供了很大的空间.由函数的幂级数展开式知假设取时， 1等式的右端是一个交织级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。如果取级数前n项之和作为的近似值即，其误差为，为了保证误差不超过，就要取级数1的前20000项进展计算，计算量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于展开式而言，当越小收敛越快，恰恰在端点收敛最慢. 以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快些.现假设取带入展开式得 2假设取级数的前n项和作为的近似值，其误差为下面实现(2)式的计算，假设要求误差小于(计算的程序见附录1)当n=8时，现取，显见，记，而，所以，就是(3)下面实现(
3、3)的计算，假设要求误差小于(计算的程序见附录2)当n=7时，对于，误差一样如要求误差小于，取不同的，对应局部和的项数n与近似计算的值如下表1n20000873.141673.14156对于的展开式而言，取 (4)下面实现(4)的计算，假设要求误差小于(计算的程序见附录3)当n=4时，综上，知当误差确定时，对一样的幂级数展开式，*的取值不同，所取局部和的项数不同，近似计算的值也不同，对不同的幂级数展开式结果亦然.当然，当误差改变时，我们同样可以利用幂级数展开式估算出的值，其准确度更高.3.数的近似计算当=1时，所以取作为近似值，则误差为.例如:准确到，则需要(见附录4).扩广:利用幂级数推导是
4、无理数.反证法:假设是有理数，则等式左边是一个整数，右端第一项为哪一项整数，而k是小数；即右端不是整数，矛盾.故是无理数.4.对数的计算 利用对数的幂级数展开式，作对数的近似计算。根据对数的特征，只要计算出正整数的特征，则由对数的运算，其它有理数的对数也就知道了.以ln(1+*)的麦克劳林级数作为出发点当时,当取前n项作为其近似值，其误差如要准确到就要截取一万项来计算，另外上面的展开式的收敛域为,这就不能直接用它来计算其它整数的对数.下面用一个收敛较快的幂级数来计算利用的幂级数展开式令,即带入(5),有估计余项如下如要准确到，即使,只要 (见附录5拓展:令，有这是一个递推公式，所以据此可求任正
5、整数的对数，相应的也可求有理数的对数.如:当N=2时，即，有(的结果见附录6)当N=4时，即，有(的结果见附录7)如此进展下去，可得ln6,ln7,的值利用上述计算法，通过换底公式，我们可以计算得到了的一些近似计算结果并与数学用表中值进展比较见表表的幂级数近似计算结果与数学用表中数值的比较12345678910幂级数算00.301030.477060.602060.69870.778090.845040.900900.954121数学用表00.30100.47710.60210.69900.77820.84510.90310.95421通过此表，知幂级数作为近似计算的工具，结果与真实值很相近.
6、参考文献1 董延闿.级数M.:科学技术,1982.2华东师大学数学系.数学分析.M.:高等教育,19993晓阳.数学实验与Matlab.:华中科技大学,2002附录1.s=0;n=1;ps=pi;while abs(s-ps)1e-4 s=(-1)(n-1)*2*3(1/2)/(2*n-1)*3(n-1)+s; n=n+1;ends,n程序所得结果为s=3.14167431n = 8 即为使计算结果准确到小数后第四位，只需求对应级数前7项的和利用Matlab软件算得syms k symsum(-1)(k-1)*(2*k-1)/(2*k-1),k,1,8)ans =*-1/3*3+1/5*5-1
7、/7*7+1/9*9-1/11*11+1/13*13-1/15*15syms k f=6*(-1)(k-1)*(1/sqrt(3)(2*k-1)/(2*k-1)symsum(f,k,1,7)结果为ans =3.141674312. s=0;n=1;ps=pi;while abs(s-ps)1e-4 s=4*(-1)(n-1)/(2*n-1)*1/2(2*n-1)+1/3(2*n-1)+s; n=n+1;ends,n计算结果为s =3.14156158n = 73. s=3;n=1;ps=pi;while abs(s-ps)1e-4 s=(2*n-1)!/(2*n)!*(2*n+1)*2(2*n
8、+1)+s; n=n+1;ends,n计算结果为s=3.14115 n=44.ff=sym(n*n!=107);solve(ff,n)ans =10先算syms k nsymsum(1/sym(!),1,10)ans =1.7182818则5. ff=sym(4*(2*n+1)*3(2*n-1)=104);solve(ff,n)ans =4syms k nsymsum(2/3(2*-1)*(2*-1),1,4)ans =0.69316. syms k nsymsum(2/(2*k-1)*5(2*k-1),k,1,inf)ans =0.40557. syms k nsymsum(2/(2*k-1)*9(2*k-1),k,1,inf)ans = 0.2231. z.
