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1、环形行程问题环形行程问题中的环形路线具体形状通常有一般环形、圆形、正方形、三角形、往复线路等；运动特点分为方向相同与相反、出发时间早与晚、起点是否相同、速度快慢等。下面将从环形的具体形状着手，通过几个例题，进一步揭示环形运动的本质特征。一、一般环形跑道行程问题例1.运动场的跑道一圈长400m,甲骑自行车每分钟490m；乙跑步平均每分钟跑250m。两人从同一地点同时同向出发，至少经过多少分钟两人又同时到达起点？【分析与解答】5解法一：甲要追上乙，甲必须比乙多骑一圈，第一次甲追上乙用时400三（490250）=3分，O522乙行走250X3=4163（米），也就是追及地点在出发地点前163米。即每
2、追上一次相对出发地点向32 225前移动4163400=163米，那么400米需要400三163=24次追及。每3分甲就追上乙一次，这样3 3335共用3X24=40（分）。3列式：5400三（490250）=3（分）52250X=416（米）332400三（4163400）=24（次）53X24=40（分）解法二：假设甲第k次追上乙的地点恰好回到起点位置，这时甲骑了n圈。5甲第一次追上乙用时400三（490250）=（分）35250XXk=400Xn31250Xk=1200Xn（等式两边同乘以3）25k=24n（等式两边同除以50）24与25互质，k、n的最小一组数是k=24，n=25。5即
3、甲、乙出发后第24次相遇地点又回到起点，用时3X24=40（分）O答：至少经过40分钟甲乙两人又同时到达起点。二、正方形跑道的行程问题例2.甲、乙两人在周长400米正方形跑道上匀速跑步，假设正方形的四个顶点A、B、C、D的顺序依逆时针方向排列，起点是A，甲比乙快，二人同向跑每隔3分20秒相遇一次，反向跑每隔80秒相遇一次。如果甲、乙二人先同向跑（逆时针）相遇一次，紧接着反向跑（甲方向不变，乙按顺时针方向）相遇一次。甲乙二人第二次相遇地点离正方形的四个顶点A、B、C、D的哪一点最近？最近距离是多少？【分析与解答】为了同学们能方便理解，我们画出示意图。甲乙二人同向跑每隔3分20秒相遇一次，也就是经
4、过3分20秒甲就比乙多跑一圈（400米），而3分20秒=200秒，得：甲速度X200乙速度X200=400米甲乙二人反向跑每隔80秒相遇一次，也就是经过80秒，甲、乙二人共跑一圈（400米），得：甲速度X80+乙速度X80=400米利用“消元法”把式的两边都乘以2.5再和式相加得：甲速度X200-乙速度X200=400米+甲速度X80X2.5+乙速度X80X2.5=400米X2.5甲速度X200X2乙速度（抵消）=400米X（l+2.5）这样，甲速度=400米X（l+2.5）三（200X2）=3.5米/秒乙速度=400三803.5=1.5米/秒因为甲两次逆时针跑共用时间是：（60X3+20）秒
5、+80秒=280秒所以甲两次跑步的总路程是：3.5X280=980（米）980三400=2（圈）180（米）180400三4=80（米）（正方形的边长是100米）因为起点是A,按逆时针方向跑，故第二次相遇点在边BC上，且距C点100-80=20米处。答：第二次相遇地点离正方形的顶点C最近，最近距离是20米。三、圆形跑道的行程问题例3.一个圆周长70厘米，甲、乙两只蚂蚁从同一地点，同时出发同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇。乙蚂蚁原来的速度是多少？【分析与解答】根据题意画出示意图。观察示意图可知：甲共行了703
6、0=40（厘米），所需时间是40三4=10（秒）。10秒内，乙按S?原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15+30=45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15+452=37.5（厘米），由此可求出乙原来的速度。（7030）三4（30+15）三2+15三10=40三4=37.510=10（秒）=3.75（厘米/秒）答：乙蚂蚁原来的速度是每秒爬3.75厘米。例4.在400米的跑道上有A、B两点相距170米，甲乙同时分别从A、B两点出发，逆时针方向跑步。每秒钟甲跑5米，乙跑4米，两人每跑100米，都要休息10秒。甲需多少秒才能追上乙?【分析与解答】甲要追上乙，甲要多跑170米，就会多休息1次，这
7、多休息一次（10秒）的时间，乙又跑了10秒的路程，所以甲要比乙总共多跑170+10X4=210（米）甲用在跑步的时间是210三（54）=210秒。（不包括休息时间）甲跑210秒的过程中休息了5X210三100=10次50（米）所以总耗时是210+10X10=310秒。乙每跑多少秒要休息一次100三4=25秒，也就是乙每跑100米包括休息时间共25+10=35秒。310三35=8次30（秒）在剩下30秒的时间里，乙还可以再跑一个100米剩下5秒。所以乙跑步的总路程是100X（8+1）=900（米）当乙跑900米用时305秒后刚停下休息时，甲已经跑了305三（100三5+10）=10次5（秒）就是
8、100X10+5X5=1025米，这时甲还没有追上乙，仍相差1025170900=45米，这时乙刚开始休息。所以甲只需要再用45三5=9秒就在乙的休息点追上乙。即甲共用时：305+9=314秒。答：甲需314秒才能追上乙。四、往复线路的行程问题例5.小明沿着公交车行驶的路线行走，每隔6分有一辆公交车从他身后驶过，而每隔2分有一辆公交车从对面开来，若小明和公交车的速度始终是匀速的，则每隔几分钟起点站开出一辆公交车？【分析与解答】这是一道难题，也是一道很经典的题目。解法一：假设每隔a分钟从车站开出一辆公交车，公交车的速度是V，小明的速度是k。根据题意，由于公交车发车的时间间隔是相等的，所以前后两辆
9、公交车的距离都是VXa。每隔6分钟有一辆公交车从小明身后驶过，就是说当公交车甲追上小明时，公交车乙正好与小明相距VXa（如图），而这段距离公交车乙需要用6分钟的时间才能再追上小明（追及问题）。n（Vk）X6=VXa(n+m)X2=s1m=sn2(nm)X6=s1m=ns6则有s+2s=2n3而每隔2分有一辆公交车从对面开来，说明当公交车1和小明相遇时，公交车2正好与小明也是相距VXa（如下图），这段距离公交车2和小明需要用2分钟的时间才能再相遇（相遇问题）。=3I1生？5圭J（V+k）X2=VXa根据可、得（Vk）X6=（V+k）X2（Vk）X3=V+k（等式两边同除以2）3V3k=V+k2V=4k（等式两边同加上3k，并同时减去V）V=2k（等式两边同除以2）把V=2k代入得（2kk）X6=2kXa6k=2kXaa=3（等式两边同除以2k）解法二：设小明与公交车的速度分别为m米/分、n米/分，相邻两辆公交车的间隔距离为s米,s则相邻两辆公交车发车的间隔时间为分，依题意得:n（等式两边先同乘以：，再同时减去n）L-i（等式两边先同乘以*123,再根据减数二被减数一差）611sn=ns26（等式两边同加上1s,并同时加上n）62（等式两边先同除以3，再同时除以n）3答：每隔3分钟从起点站开出一辆公交车。说明：这些例题难度都很大，请仔细思考，有不明白的地方要向老师提出来!=3
