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1、第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率5 曲面上的曲率概念利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面 上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体一主曲率定义 1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称 为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称 为曲面S在点P处的主方向.注记 1 Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主 曲率和主方向 当两个主曲率K(P) H K2(P)时，曲面在点P处有且仅有正交的两 组主方向，每一组的单位化向量分别就是 Weingarten 变换的单位正交特征 向量.而当两
2、个主曲率K(P)二K2(P)时，曲面在点P处的任何非零切向都 是主方向，Weingarten 矩阵(P)=叫叫，即 Q(P) = Ki(P)g(P).主曲率和主方向的计算，自然归结为 Weingarten 变换的特征值和特征 方向的计算，也就是Weingarten矩阵的特征值和特征方向的计算.即： 对于主曲率的算法，当易知Weingarten矩阵之时，方程为(4.3) 式，或直接写为(5.1) |-XI2 | = 0 ;等价地，当易知系数矩阵Q和g之时，其方程可变形为(5.2) p-Xg | = 0 . 对于主方向的算法，各种等价算式为a = air丰0为主方向，即非零切方向a1:a2为主方向
3、3X , ?(a1, a2) = X(a1, a2), (a1, a2)丰(0, 0)3X , ?(a1, a2)P = (a1, a2)g , (a1, a2)丰(0, 0)det.(a2)2-a1 a2(a1)2Og11g12g22= 0 GOG11 12 22主方向所对应的微分方程通常写为(du2)2-du1du2 (du1)2(5.3)g11g12g22= 0 *G G G11 12 22定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上 的一个脐点若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面若脐点处的 主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点注记2全脐曲面S
4、的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只 有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点全脐曲面主 方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式二.Gauss曲率和平均曲率定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积K，称为 其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均 值H，称为其在点P处的平均曲率注记3 注意到(4.4)-(4.5)式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用 Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为(5.4)LN - M2_ _ |g| EG - F2，(5.5)_ tr.o LG - 2MF + NE H .22(EG - F2
5、)(5.6)主曲率方程 (4.3)式现可改写为12 - 2H尢+ K 0 ；其中H 2-K=(叫:性)2三0 . Gauss 曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下 不变，在反向参数变换下变号 当曲面三阶连续可微时， Gauss 曲率和平均曲率分别是连续可微 函数；此时，两个主曲率函数(5.7)k H土Jh2-K , i 1, 2 i处处连续，并且在非脐点处连续可微 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值(留作习题) 平均曲率不是等距不变量反例如圆柱面和平面例1证明可展曲面的Gauss曲率K三0 .证明 对可展曲面S的直纹面参数化r(u, v) = a(u) + v l(u)，由可
6、展定 义得知n三0，故其第二基本形式系数满足VM = - r n 三 0 , N = - r n 三 0 ,uvvv于是LN - M2EG - F2在上例中，若取准线使al三0且l |三1,贝9可展曲面S的第一和第二 基本形式系数矩阵同时对角化， Weingarten 矩阵则为特征值对角阵，而且L(5.8) 叫=,k2 三 0 .三.Gauss映射和第三基本形式Gauss 在考察曲面的弯 曲程度刻画时，注意到 曲面 的单位法向在单位球面上的 行为对于曲面弯曲状况 的反 映，并进一步明确了两者的 依赖程度，进而在曲面论中 做出了卓有成效的工作观 察熟知的一些曲面，比如平 面、圆柱面、圆锥面、椭球
7、 面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为 和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系定义 4 对于 C3 正贝曲面 S: r(u1, u2) 及其单位法向量场 n(u1, u2) ，曲 面S到以原点为心的单位球面S2(1)上的映射(5.9) & ”1)r(u1, u2)G(r(u1, u2) = n(u1, u2) 称为曲面S的Gauss映射.二次微分形式(5.10) III = dndn称为曲面S的第三基本形式性质严2 = Krxr2 |K(P)| = limAgU絆，其中PwUuS , U为单连通区域，U 收缩至 PA(U)A(G(U)是 G(U)uS2(1)的面积，A
8、(U)是 UuS 的面积. III- 2HII +KI = 0 .证明 由 Weingarten 公式得nn2 = -(11r1 + 3卢2)灯(込片 + 込笃)=| r1xr2 = K r1xr2 . A(U) = JJ| r1xr2 | du1du2 ,r-1(U)A(G(U) = JJ | n1xn2 | du1du2 = JJ |K | r1xr2 | du1du2 .r-1(U)r-1(U)而由积分中值定理，3P*eU使JJ |K | r1xr2 | du1du2 = |K (P*)| JJ | r1xr2 | du1du2 .r-1(U)r-1(U)故而lim AA(UU)= li
9、m |K (P*)| = |K (P)| U收缩至PP*tP 结论用系数矩阵等价表示为( g-1)g( g-1)T - 2HG + k g 三 0o Q g-1Q - 2HQ + K g 三 0o Q g-1Q g-1 - 2HQ g-1 + K I2 三 0o 一 (tr.o)o + |o|I2 三 0 .而最后的等式对于二阶方阵总成立( 用特征值理论则知是显然的)，用元素计算可直接验证为oiko j 一(tr.) j + |Q ji kii=严/ + 严2 一 (11 + 22)/ + (1122 一 严円耳三 0 .习题1.对于螺面 r = (u cos v , u sin v , u
10、+ v)，试求：主曲率叫和 ； Gauss 曲率和平均曲率2. 试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系.3. 试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即2兀H(P) = f2”k(P, 0) d0.04. 试证：直纹面的Gauss曲率处处非正.5.设正则曲面S: r(u1, u2)当常数卩足够小时1- 2yH +K 0 .按参数相同作对应曲面S*:r*(u1, u2) = r(u1, u2) + (u1, u2)，其中n为曲面S的单位法向量场.试证: S和S*在对应点具有相同的单位法向和法线； S和S*在对应点的Weingarten矩阵具有关系式ro* = ro (厶-)-1 ； S和S*在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式K* =， H* =H - uK1 2 pH + pZK ；S的曲率线对应于S*的曲率线.6. 已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为K(D,nK (1) + . + K (m)K (m) , m 2 .试证：S在该点的平均曲率H = nnnm7. 试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面.
