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1、 1 专题08 函数与方程（教学案）高考数学（理）一轮复习精品资料1.考查函数零点的个数和取值范围；2.利用函数零点求解参数的取值范围；3.利用二分法求方程近似解；4.与实际问题相联系，考查数学应用能力 1函数的零点(1)定义：如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点(2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点(3)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2零点存在性定理如果函数yf(x)在区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上，至
2、少有一个零点，即存在一点x0(a，b)，使f(x0)0.3用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间，验证f(a)f(b)0；第二步，求区间(a，b)的中点c1；第三步，计算f(c1)：(1)若f(c1)0，则c1就是函数的零点；(2)若f(a)f(c1)0，则令bc1(此时零点x0(a，c1)；(3)若f(b)f(c1)0，则令ac1(此时零点x0(c1，b)；第四步，判断x0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步高频考点一函数零点的确定例1、已知函数f(x)lnxx2的零点为x0，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案C解析f(x
3、)lnxx2在(0，)是增函数，又f(1)ln11ln120，f(2)ln200，x0(2,3)，故选C.【变式探究】(1)函数f(x)的零点个数是(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()A多于4B4C3D2答案(1)2(2)B(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如图：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数yf(x)log3|x|有4个零点高频考点二、求函数的零点例2、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f
4、(x)x3的零点的集合为()A1,3 B3，1,1,3C2，1,3 D2，1,3答案D【感悟提升】(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数【变式探究】(1)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)(2)函数f(x)xx的零点个数为()A0B1C2D3答案(1)C(2)B解析因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2
5、,4)(2)方法一令f(x)0，得xx，在平面直角坐标系中分别画出函数yx与yx的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.方法二f(0)1，f(1)，f(0)f(1)0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.方法二(分离变量法)由方程，解得a，设t2x (t0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.【感悟提升】对于“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域来解决，解的个数可化为函数yf(x)的图象和直线ya交点的个数【变式探究】(1)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1
6、,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)(2)已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(0,3) C(0,2) D(0,1)答案(1)C(2)D解析 (1)因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0.所以0a3.(2)画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D.高
7、频考点四、二次函数的零点问题例4、已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围解方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2a0,且a1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）（A）（0， （B）， （C），（D），）【答案】C4.【高考北京理数】设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围
8、是_.【答案】，.【解析】如图，作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极小值点，当时，由图象可知的最大值是；由图象知当时，有最大值；只有当时，无最大值，所以所求的取值范围是【20xx高考湖南，理15】已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .【答案】.【解析】分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而，综上，实数的取值范围是.【20xx高考江苏，13】已知函数，则方程实根的个数为 【答案】4（20xx湖南卷）已知函数f(x)x2ex(x0)与g(x)x2
9、ln(xa)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A(，) B(，)C. D.【答案】B【解析】依题意，设存在P(m，n)在f(x)的图像上，则Q(m，n)在g(x)的图像上，则有m2emm2ln(ma)，解得maeem，即aeemm(m0)，可得a(，)（20xx天津卷）已知函数f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_【答案】(0，1)(9，)【解析】在同一坐标系内分别作出yf(x)与ya|x1|的图像如图所示当ya|x1|与yf(x)的图像相切时，由整理得x2(3a)xa0，则(3a)24aa210a90，解得a1或a9
10、.故当ya|x1|与yf(x)的图像有四个交点时，0a9.（20xx浙江卷）已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3 B3c6 C69【答案】C【解析】由f(1)f(2)f(3)得则f(x)x36x211xc，而0f(1)3，故06c3，6c9，故选C.（20xx新课标全国卷 已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C D【答案】D【解析】方法一：若x0，|f(x)|x22x|x22x，x0时，不等式恒成立，x0时，不等式可变为ax2，而x20，|f(x)|ln(x1)|ln(x1)，由ln(x1)ax，可得a恒成立，令h(x)，则h(x)，再令g(x)ln(x1)，则g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)g(0)0，可得h(x)0，故h(x)在(0，)上单调递减，x时，h
