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1、 抛物线解题技巧的探讨 【编著】黄勇权 充分利用抛物线y = ax2 + bx + c ( a 0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，巧妙巧用抛物线的对称性，常常达到简单、快捷、直通答案的佳境。 【例1】 已知抛物线与x轴两交点A、B其间距为6，与y轴交于点C，其顶点为（2，-9），求ABC的面积。 【分析】 要求ABC的面积， 只要求出点C的y坐标即可。 【解】 步骤 由题目可知，抛物线的对称轴是x = 2。 AB=6,由抛物线的对称性可知， A、B两点的x坐标分别为x= 23 即 得到A、B两点坐标为（5，0）、（-1，0
2、）。 步骤又因为顶点为（2，-9），故可设抛物线的解析式为： y = a(x-2)2 - 9 . 步骤B点（-1，0）在抛物线上，将其代入 化简得：9a -9 = 0。a = 1。 步骤 抛物线的解析式为y =（x-2)2 - 9. 把x=0代入 得到y= - 5 点C的坐标为（0，-5）。SABC = 1/2（6-5）= 15。 【例2】 已知抛物线的对称轴是x =6，抛物线与y轴交于点（0，26），与x轴两交点间的距离为14，求此抛物线的解析式。【分析】如果死搬抛物线的一般解析式y = ax2 + bx + c 。则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，其过程及其繁杂；若巧用抛物线的对称性
3、，解法就轻松简捷多了。 【解】步骤因为抛物线的对称轴为x =6， AB=14,由抛物线的对称性可知， A、B两点的x坐标分别为x= 67 即 得到A、B两点坐标为（13，0）、（-1，0）。步骤抛物线的解析式可设为 y = a（x-13）（x+1）. 步骤又因为抛物线与y轴交于点（0，26）， 将其代入化简得：26 = -13a。故a = - 2。 步骤y = -2（x- 13）（x +1），展开得： y = - 2x2 + 24x -26。 【例3】 已知抛物线y=-2x2+8x-15,求与它关于直线y=-3对称的抛物线。 【分析】 此题的突破口：将抛物线的一般形式转变成顶点形式。 【解】
4、步骤y=-2x2+8x-15, y=- 2(x - 2)2 - 7 得到：顶点（2，- 7） 步骤顶点（2 ，- 7）关于y=-3对称的点C的y坐标 y=2(-3）-（-7）=1 即C（2, 1）. 步骤因为两抛物线关于直线y=-2对称, 它们的开口方向相反。 即a= -（- 2）=2. 步骤 由、得到所求抛物线 y=2(x-2)2+1【例4】 已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A，与y轴交于点B（0，10），与x轴交于C、D两点，如果方程ax2 + bx + c =0的两个根是1和5，求四边形ABCD的面积。 【分析】要求四边形ABCD的面积，求出顶点A的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。 【解】 步骤因为方程ax2 + bx + c =0的两个根是1和5 得C、D两点的坐标分别为（1，0）、（5，0）。 从而可设抛物线的解析式为 y = a（x-1)（x-5）. 步骤y轴交点（0，8）在抛物线上，将其代入 化简得：5a = 10。故a =2。 抛物线的解析式为y = 2（x-1)（x-5）， 即y=2(x-3)2 - 8 顶点A的坐标为（3，- 8）。 步骤连结OA ， CD=5 - 1=4 YB=10 YA=-8=8则S四边形ABCD = SBDC + SACB = 1/2410+1/284 =36
