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1、岳阳市2017届高三教学质量检测试卷（一）数学（理工类）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.已知集合，则 A. B. C. D.2.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在的象限是 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数满足，那么函数的图象大致是5.若变量满足不等式组，且的最大值为7，则实数的值为 A. B.
2、C. D.6.已知函数的最小正周期为，则 A. 函数的图象关于点对称 B.函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象上单调递减 D. 函数的图象上单调递增7.将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001,002，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为 A. B. C. D.8.某四面体的三视图如图2，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是 A. B. C.
3、D. 9.某一算法框图如图3，输出的值为 A. B. C. D.10.已知圆和两点.若圆上存在点使得，则的取值范围是 A. B. C. D.11.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 A. B. C. D.12.定义：如果函数在上存在满足，则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在中，角的对边分别为，已知，则 .14.若二项式的展开式中只有第4项的系数最大，则展开式中常数项为 .15.矩形的四个顶点坐标依次为，
4、线段及的图象围成的区域为，若矩形内任投一点，则点落在区域内的概率为 .16.定义在上的函数满足：当时，；都有.设关于的函数的零点从小到大依次为，若，则 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列前项和满足： （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：.18.（本题满分12分）根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克
5、/立方米）的监测数据，数据统计如右表： （1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图4. 求图4中的值；求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由. （2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列和数学期望.19.（本题满分12分）如图5，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面. （1）求证：; （2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.20.（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点为
6、，离心率为，点在椭圆上，在线段上，且的周长等于 （1）求椭圆的标准方程； （2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点，求面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数 （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性；（3）若，求函数的最大值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 已知曲线C的极坐标方程为，以极点O为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线C的直角坐标方程及直线的普通方程；（2）直线与曲线交于两点，当取到最小值时，求的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.
