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1、精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：高三课 时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：顾建明授课类型T :同步复习C :专题训练T：能力提升星级 教学目的转化和化归专题授课日期及时段教学内容/T同步复习H|J丿转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、 复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等各种变换、具体解题方法 都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决 的一种方法一般
2、总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未 解决的问题变换转化为已解决的问题解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换 它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.1转化与化归应遵循的原则(1) 熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决(2) 简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的， 或获得某种解题的启示和依据.(3) 和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形 式，或者转化命题，使其有利于运用某
3、种数学方法或符合人们的思维规律(4) 直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决(5) 正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使 问题获解.2. 转化与化归的基本类型(1) 正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原贝I(2) 常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量(或参数)当“主元”其他的变量 看作常量.(3) 数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直观地 反映函数或方程中的变量之间的关系.(4) 数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代
4、n精锐j对i数、三角问题等.(5) 相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、判别式等.(6) 实际问题与数学模型的转化.3. 常见的转化方法(1) 直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题(2) 换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幕等，把较复杂的函数、方程、不等式 问题转化为易于解决的基本问题.(3) 数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换、获得 转化途径.(4) 参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化(5) 构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题(6) 坐标法：以坐标系为工具，用
5、计算方法解决几何问题(7) 类比法：运用类比推理，猜测问题的结论(8) 特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题(9) 一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题通过一般化 的途径进行转化.(10) 等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的(11) 加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强 为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方 法.(12 )补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A,而把包含该问题的
6、整体问题 的结果类比为全集u,通过解决全集u及补集 获得原问题的解决.以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.C专题训练k.类型一：常量与变量的转化问题1 .已知二次方程ax2+2(2a 1)x+4a7=0中的a为正整数，问a取何值时此方程至少有一个整数根. 思路点拨：本题可以将原方程变为关于a的式子，根据a为正整数，得出x的取值，再代回去，求出a的值. 解析：原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7，2x+7Vx=2不是原方程的解，又Ta为正整数，2x + l? + 2x-3 0弋 x + 2 0解析：要使原方程有意义，需，解得x3.原方程化为：1浊(苦1呱迫-1 + 2). x-3=
7、a(x-1)(x+2)在区间(3, +)上有解，c _X-3.一(疋-1)0 + 2) 问题转化为求右端在(3, +-)上的值域，即将a看作x的函数a(x).由x-31*.*x3, Ax-30，-3 + -2 L-3)- = 2./w 10当且仅当，即 = 3 + Vio时取等号1_7-2710 2価+7 一 9 0心上应又Tx3 时，a0, /9,I精锐j对1（0,学故a的取值范围是【变式2】设防3&h +（f 2）logM f + l,若te2, 2时，y0恒成立，求x的取值范围.（0丄）U（*）答案：类型二：等价转化2.已知函数的值域为1, 4,求实数a、b的值.思路点拨：设A 了,将所
8、给函数看作关于x的方程则由题意可知当yu1, 4时，关于x的方程有实数解.ax-b解析：的定义域为R,故可等价转化为yx2ax+yb=0.令 A=a24y（yb）20,即 4y24bya2W0,则由题意可知，不等式4y24bya2W0的解集为1, 4. 也就是一1, 4是关于y的方程4y24by a2=0的两根.f-l + 4 = i . a-1x4 =-.I ,.a=4, b=3.所以所求实数a=4, b=3.总结升华：本题是利用函数、不等式与方程的关系一步一步地等价转化使问题得以解决，常见的转化类型有高次 向低次的转化，多元向一元的转化，分式向整式的转化，无理向有理的转化，空间向平面的转化
9、等举一反三:2【变式1】已知奇函数在定义域（一1, 1）上是减函数，且，求实数冬的取值范围.【变式2】若畑+3-&的图象在（o,i）内与x轴恰好有一个交点，则a的取值范围为.解析：的图象是直线,在（0, 1）内与x轴恰有一个交点,则a3 (当a=0时不合题意).【变式3】已知函数)=处7,满足-4乞/乞-1, -1兰/二，求/的最大值、最小值及取得最 大值和最小值时对应a，c的值.(a = 3a = 0答案：了现=20，此时；了(泊=-1，此时：1类型三：正面与反面的转化问题3.已知非空集合A=xlx2Amx+2m+6=0, xUR,若AGR-M，求实数m的取值范围(R-表示负实数 集，R+表
10、示正实数集).思路点拨：本题可以根据A G R-M 的反面A H R-= 时的取值范围进行求解.m丄解析：设全集 U=ml A=16m2-8m2420=mlmW 1 或.meU$ Am 03方程X24mx+2m+6=0的两根均非负的充要条件是!.2+6-，可得 2 .3.AGR-=3时，实数m的取值范围为.AGR-M时，实数m的取值范围为mlmW 1.知识升华：正面难以解决的问题，可采用补集的思想，转化为反面问题来解决一个题目若出现多种成立的情况， 则不成立的情况一般较少，易从反而考虑，比如题目中出现“至多” “至少”等字眼时.举一反三： 【变式1】试求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不
11、能被直线y=m(x-3)垂直平分.解析：问题可以转化为： 为使曲线y=x2有两个对称于直线y=m(x-3)的点，求m的取值范围.1 、1m 易得 2,因此原问题的解是2.【变式2】已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1，若区间卜1,1内至少存在一个实数c,使f(c)0,贝I实数p的 取值范围是()A、B、C、D、解析：问题转化为先求在-1,1内没有一个实数C使f(c)0.即对任意xU-l,l, f(x)WO的P的取值范围. 由二次函数f(x)在-1,1的图形易知： f(1)W0 且 f(-1)wo,p-或 P23.解得:满足已知条件的P的取值范围为【变式3】已知三条抛物线
12、：尹+仏-也+ 3,尹尹+ 2九-2盘中至少有一条与 x轴相交，求实a的取值范围.答案：2或总王一 1类型四：换元转化问题4.求函数冷二2-4a sin x- cos 2x的最大值.思路点拨：令t=sin x,将函数转化为关于t的二次函数，再求二次函数在区间1,1上的最大值.解析:/ (x) = 2 -4a sm x- (1 - 2sin2 x)=2 sin2 x - 4a sm x + 1=2(sm 忑-拧 + 1 - 2a2设 sin x=t，则一 1WtW1,令 y = gQ) = 2Q 盘尸 + - 2a2如图所示，当aVO时，有浊4也所以，当aVO时函数了的最大值为34a.当a20时
13、函数了的最大值为3+4a.总结升华：通过换元将三角问题转化为较熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题，特别注意：换元后所得t 的函数的定义域为1, 1;应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间1, 1的位置，才能确定其最值举一反三：【变式1】已知x2+y2=1，则z=x2y的取值范围是.解析:令x=cose , y=sine，则込日站畝=厉曲9 +貯)， ， 【变式2】已知aUR,求函数y=(asin x)(acos x)的最小值.【变式3】已知恥)Tg + l)tuR.解析:设 t=sin x+cos x， 则“十)，故心返冋1.212sin x- cos x = (sm x + cos x) 一1=(f -1)而 曰 y - a 3(sin x + cos x) +sm xcos x于是二 a2 _加 + 丄(戸 _)二 I” _ 取+/ _丄2 2 2lz- 1 2 1=+-a -2 2 2.原问题化归为求二次函数在上的最值问题.1 1 当-磁乞必庞时，若t=a，心厅饴-/2 J21/nin = /()=2- + | 当时，在上单调递减，
