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1、向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设q , e Rn , k ,kk g R ,称k q +k a +- +k a 为a ,的一12 t12 t112 2t t 12 t个线性组合。（k1【备注11按分块矩阵的运算规则，ka + k a Hb k a = （a ,a *2 o 这112 2t t 12 t -匕样的表示是有好处的。2. 线性表示设a ,a，-,2 e Rn , b & Rn,如果存在k ,k ,k & R ,使得 12 t12 tb = k a +k a +- +k a1 12 2t t则称Z?可由q ，,线性表示。12 t（k1kb = k a +k a +- +ka
2、,写成矩阵形式，即b = （a ，2。因此，/?可112 2t t12 t X1由aq ,q线性表示即线性方程组Gs,）*2 =力有解，而该方程组有解12 t12 t 当且仅当 ra ,a ,）=r（a ,a ,，/?）。12 t12 t3. 向量组等价设q ,，Z? ,Z? ,，e Rn ,如果Q ,a ,中每一个向量都可以由 12 t 12 s12 tb ,b ,/?线性表7K,则称向量组ci ,6/ ,可以由向量组，,/?线性表7Ko12s12 t12s如果向量组6Z,6Z ,和向量组，可以相互线性表示，则称这两个向12 t12s量组是等价的。向量组等价的性质：(1) 自反性任何一个向量
3、组都与自身等价。对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。 传递性 若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III 等价。证明：自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。设向量组I为a ,a ,a，向量组II为b ,b ,b，向量组III为c ,c ,c。12 r12 s12 t向量组II可由III线性表示，假设b =E y c，j = 1,2,s。向量组I可由向k=1i = 1,2,r。因此，量组II线性表示，假设a = x b ,c =Z(Zyx )c，i = 1,2,r kj kkj ji kk=1 j=1j = 1a =lLxb =lLx
4、Zyi j j j /j=1j=1 k=1因此，向量组I可由向量组III线性表示。向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次， 同样可得出，向量组III可由I线性表示。因此，向量组I与III等价。结论成立！4. 线性相关与线性无关设a ,a ,a e Rn，如果存在不全为零的数k ,k ,k e R，使得12 t12 tk a + k a + k a = 01122tt则称a , a , ,a线性相关，否则，称a , a , , a线性无关。12 t12 t按照线性表示的矩阵记法，a ,a ,a线性相关即齐次线性方程组12 tkk2a , a , , a线性无关，即
5、12 t有非零解，当且仅当r(aa2,a ) t。(a ,a ,a )只有零解，当且仅当r(a ,a ,a ) = t。12 t特别的，若t = n，则a ,a ,a e Rn线性无关当且仅当r(a ,a ,a ) = n，12 n12 n当且仅当(a ,a ,a )可逆，当且仅当|(a ,a ,a )丰0。12 n112 n例1.单独一个向量a e Rn线性相关即a = 0，线性无关即a主0。因为，若a线性 相关，则。存在数k丰0，使得ka = 0，于是a = 0。而若a = 0，由于1 a = a = 0，1丰0 因此，a线性相关。例2.两个向量a,b e Rn线性相关即它们平行，即其对应
6、分量成比例。因为，若a,b线性相关，则存在不全为零的数k , k，使得ka + kb = 0。k , k不全为零，不妨121212彳假设k主0，贝U a = -土b，1k1假设存在人，使得a = X b，则a -人b = 0，于是a, b线性相关。)r 0)r 0)0,1,00 J0 puj1 p j例3.线性无关，且任意x =xx2顷3e R3都可以由其线性表示，且表示故a, b平行，即对应分量成比例。如果a, b平行，不妨方法唯一。事实上，xxr 1)r 0)r 0、=x0+ x1+x02123x J30 p j0 pjp1jx =5. 线性相关与无关的性质(1)若一向量组中含有零向量，则
7、其必然线性相关。证明:设a , a , , a e Rn，其中有一个为零，不妨假设a = 0，则12 ttQ - a1 + 0 - a 2 + + 0 - a 1 +1 - 0 = 0因此，a ,a ,a线性相关。12 t(2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相 关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。证明：设a ,a ,a , P , P ,P e Rn，a ,a ,a线性相关。存在不全为零的数 12 t 12s12 tk , k ,k，使得12 tk a + k a + k a = 01122tt这样，k a + k a + k a + 0
8、- P + 0 - P + 0 - P = 0112 2t t12sk ,k ,k 不全为零，因此，a ,a ,a , P , P , P 线性相关。12 t12 t 12s后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。(3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。证明：设a ,a ,a e Rn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量12 t最后一个分量之后，成为*b)b , b , , b是同维的列向量。令12 t(k a + k a + k a )=1 12 2 t t = 0I kb + kb + kb J1122tt则k a
9、 + k a +.+ k a = 0。由向量组a ,a ,a线性相关，可以得到1122tt12 tk = k =.= k = 0。结论得证！(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。证明：设a ,a ,a e Rn为一组向量。 12 t必要性若a ,a ,a线性相关，则存在一组不全为零的数k ,k ,k，使得12 t12 tk a + k a + k a = 01122ttk ,k , ,k不全为零，设k主0，贝Q12 tjk a HF k a + k a HF k aa = 11=1=1 j+1j+11_tj充分性 若a ,a，,a中某个向量可以表示成其余向量的线性
10、组合，假设a12 tj可以表示成a ,a ,a，,a的线性组合，则存在一组数k ,k ,k ,k，iji j+itiji j+it使得a = k a +k a + k a + + k aj 1 1j 1 j 1j +1 j +1t t也就是k a +k a 一 a + k a + k a = 01 1j 1 j 1 j j +1 j +1t t但k ,k , 1,k ,k不全为零，因此，a ,a，,a线性无关。1j1j+1 t1 2 t【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而 不是全部向量都可以。(5)若a ,a ,a(= Rn线性无关，b e Rn，使得a ,a
11、 ,a ,b线性相关，则b可由 12 t12 ta1, %, , at线性表示，且表示方法唯一。证明：a ,a , ,a ,b线性相关，因此，存在不全为零的数k ,k , ,k , k，使得12 t12 t t+1k a + k a + ka + k b = 01 12 2t t t+1k 。0，否则 k = 0，则 k a + k a + k a = 0。由 a , a , , a 线性无关，我们t+1t+111 2 2t t1 2 t就得到k = k = k = 0，这样，k ,k，,k ,k均为零，与其不全为零矛盾！12t12 t t+1这样，7 k a + k a + k ab = 1
12、kt+1因此，b可由a ,a，a线性表示。12 t彳假设 b = x a + x a + x a = y a + y a + y a，贝。1122tt 1122tt(x y )a + (x y )a + + (x y )a = 0111222t t t由 a ,a , ,a 线性无关，有 x y = x y =.= x y = 0，即12 t1122t tx - y , x - y ,x - y1122 t t因此，表示法唯一。【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组a,彳线性表示，则表示法唯一。事实上，向量b可由线性无关向量组a1，,a,线性表示，即线性方程组(a ,a
13、 )x - b有解。而a ,a线性无关，即r(a ,a ) -1。因此，1t1t1t若有解，当然解唯一，即表示法唯一。(6)若线性无关向量组a ,a ,a可由向量组b ,b ,b线性表示，则t s。a , a ,a可由b , b ,b线性表示。假设t12 s11xa - x b + x b Hb111 121 2-(b , b ,，b )12 sa x b + x b bb212 122 2-(b1，b2,，bk Xs1 JX22a x b + x b bb x b (b , b ,b )t 1t 12t 21X2tst2s21任取k , k ,k，则12 tk a + k a bb ka (
