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1、第九章动力问题如果只对结构加载荷后的长期响应感兴趣的话，静力分析就足够了。然而, 如果加载时间很短，例如地震；或者载荷性质为动态，例如来自旋转机械的荷 载，这时就必须采用动力分析。9.1引言9 - #动态模拟是将惯性力包含在动力学平衡方程中：Mu I -P =0其中 M是结构的质量。u是结构的加速度。I是结构中的内力。P是所施加的外力。公式的表述无非是牛顿的第二运动定律（F=ma ）的表现。动态分析和静态分析最主要的不同在于平衡方程中包含惯性力项（ Mu）。 两者的另一个不同之处在于内力I的定义。在静态分析中，内力仅由结构的变形 引起；而动态分析中的内力包括运动（例如阻尼）和结构变形的共同贡献
2、。9.1.1固有频率和模态最简单的动力问题是在弹簧上的质量振动，如图9-1所示A位移山图9 -1质量一弹簧系统弹簧的内力为ku，所以运动方程为mu ku - P = 0这个质量弹簧系统的固有频率（单位是弧度/秒）为如果质量块被移动后再释放，它将以这个频率振动。假若以此频率施加一个 动态外力，位移的幅度将剧烈增加即所谓的共振现象。实际的结构具有多个固有频率。因此，在设计结构时避免使各固有频率与可 能的荷载频率过分接近就很重要。固有频率可以通过分析结构在无荷载（动力平 衡方程中的:）时的动态响应而得到。此时，运动方程变为Mu 1=0对于无阻尼系统，丄I J.1，则上式变为Mu Ku = 0这个方程
3、解的形式为u = d t将此式代入到运动方程中便得到了特征值问题方程K = M2其中，=.。该系统具有n个特征值，此处n是有限元模型的自由度数。记 如为第j个特 征值。它的平方根 r是结构的第j阶固有频率，并且 是相应的第j阶特征向 量。特征向量也就是所谓的模态（也称为振型），因为它是结构在第 j阶振型下 的变形状态。在ABAQUS中，频率提取程序用来求解结构的振型和频率。这个程序使用 起来十分简单，只要给出所需振型的数目和所关心的最高频率即可。9.1.2 振型叠加在线性问题中，结构在荷载作用下的动力响应可以用固有频率和振型来表 示，即结构的变形可以采用振型叠加的技术由各振型的组合得到，每一阶
4、模态都 要乘以一个标量因子。模型中位移矢量u被定义为QOu八i冷其中：i是振型i的标量因子。这一技术只在模拟小变形、线弹性材料、无接触条 件情况下是有效的，即必须是线性问题。在结构动力学问题中，结构的响应往往取决于相对较少的几阶振型，这使得 振型叠加方法在计算这类系统的响应时特别有效。考虑一个含有10,000个自由度的模型，则对运动方程的直接积分需要在每个时间点上求解10,000个联立方程组。但若结构的响应采用100阶振型来描述，那么在每个时间步上只需求解 100个方程。更重要的是，振型方程是解耦的，而原来的运动方程是耦合的。虽 然在计算振型和频率时需要花费一些时间作为代价，但在计算响应时将节
5、省大量 的时间。如果在模拟中存在非线性，在分析中固有频率会发生明显的变化，因此振型 叠加法将不再适用。在这种情况下，需要对动力平衡方程直接积分，这将比振型 分析要花费更多的时间。具有下列特点的问题才适于进行线性瞬态动力学分析：.系统应该是线性的：线性材料特性，无接触条件，无非线性几何效应。响应应该只受较少的频率支配。当响应中各频率成分增加时，例如撞击和 冲击问题，振型叠加技术的有效性将大大降低。载荷的主要频率应在所提取的频率范围内，以确保对载荷的描述足够精 确。由于任何突然加载所产生的初始加速度应该能用特征模态精确描述。系统的阻尼不能过大。9.2 阻尼如果一个无阻尼结构做自由振动，则它的振幅会
6、保持恒定不变。然而，实际 上由于结构运动而能量耗散，振幅将逐渐减小直至振动停止，这种能量耗散称为 阻尼。通常假定阻尼为粘滞的或正比于速度。动力平衡方程可以重新写成包含阻 尼的形式：Mu IP = 0I = Ku Cu 其中C是结构的阻尼阵，u是结构的速度。能量耗散来自于诸多因素，其中包括结构结合处的摩擦和局部材料的迟滞效 应。阻尼概念对于无需顾及能量吸收过程的细节表征而言是一个很方便的方法。在ABAQUS中，是针对无阻尼系统计算其振型的，然而，大多数工程问题 还是包含阻尼的，尽管阻尼可能很小。有阻尼的固有频率和无阻尼的固有频率的 关系是a = -匚2其中d是阻尼特征值，是临界阻尼比，coC是该
7、振型的阻尼，Co是临界阻尼。对较小的情形（：0.1 ），有阻尼系统的特征频率非常接近于无阻尼系统 的相应值。当增大时，采用无阻尼系统的特征频率就不太准确，当接近于1时，就不能采用无阻尼系统的特征频率了。当结构处于临界阻尼（=1）时，施加一个扰动后，结构不会有摆动而是 很快地恢复到静止的初始形态。（见图 9-2）图9 -2阻尼9.2.1 ABAQUS中阻尼的定义在ABAQUS中，为了进行瞬时模态分析，可定义不同类型的阻尼：直接模 态阻尼，瑞利(Rayleigh)阻尼和复合模态阻尼。模拟动力学过程要定义阻尼。阻尼是分析步定义的一部分，每阶振型可以定 义不同数量的阻尼。直接模态阻尼采用直接模态阻尼可
8、以定义对应于每阶振型的临界阻尼比。 的典型取值范围是从1%到10%。直接模态阻尼允许精确定义每阶振型的阻尼。Rayleigh 阻尼Rayleigh阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，C = ： M 水，其中和是用户定义的常数。尽管假设阻尼正比于质量和刚度没有严格的物理 基础，但实际上我们对于阻尼的分布知之甚少，也就不能保证使用更为复杂的阻 尼模型是正确的。一般来讲，这个模型对于大阻尼系统一一也就是临界阻尼超过 10%时，是失效的。相对于其它形式的阻尼，可以精确地定义系统每阶模态的 Rayleigh 阻尼。复合阻尼在复合阻尼中，可以定义每种材料的临界阻尼比，并且复合阻尼是对应于整 体
9、结构的阻尼。当结构中有许多不同种类材料时，这一选项是十分有用的。在这 本指南中将不对复合阻尼做进一步的讨论。922 阻尼值的选择在大多数线性动力学问题中，恰当地定义阻尼对于获得精确的结果是十分重 要的。但是阻尼只是对结构吸收能量这种特性的近似描述，而不是去仿真造成这 种效果的物理机制。所以，确定分析中所需要的阻尼数据是很困难的。有时，可 以从动力试验中获得这些数据，但是在多数情况下，不得不通过经验或参考资料 获得数据。在这些情况下，要仔细地分析计算结果，应该通过参数分析来评价阻 尼系数对于模拟的敏感性。9.3 单元选择事实上，ABAQUS的所有单元均可用于动力分析。选取单元的一般原则与静 力分
10、析相同。但是，在模拟冲击和爆炸载荷时，应选用一次单元。因为它们具有 集中质量公式，在模拟应力波效果方面优于采用二次单元的一致质量公式。9.4 动力问题的网格剖分在动力分析中，剖分网格需要考虑响应中将被激发的振型，网格剖分应能充 分反映那些振型。这就意味着，能满足静态模拟要求的网格，不一定能计算高频 振型的动态响应。例如，考虑图9-3所示的平板。用一次壳单元剖分的网格对于受均布载荷 的静力分析以及一阶振型的预测是适用的。但是，该网格对于精确模拟第六阶振 型就显得太粗糙了。(a)模态 V 31.1 Hz(b)模态 6: 140 Hz图9 3平板的粗网格图9 - 4显示了同样的板用一次单元进行更精细
11、的网格剖分后所模拟的结果。第六阶振型的位移看起来明显好一些，预测的频率也准确了许多。如果作用 在板上的动载会显著地激发该阶振型，则应采用精细的网格；采用粗网格将得不 到精确的结果。 模态 1:30.2 Hz(b)模态 6： 124 Hz图9-4平板的精细网格9.5例子：货物起重机-动态载荷这个例子采用在第 6.4节中分析过的同样的结构，现在要研究的问题是当10kN荷重跌落在起重机挂钩上 0.2秒后的响应。A, B, C和D点(见图9-5)处 的接头可以承受的最大拉力为100kN，现在需要判断这些接头是否会断裂。图9-5货物起重机载荷持续时间很短意味着惯性效应可能是很重要的，所以实质上为动态分
12、析。该题没有提供结构阻尼的任何信息。由于桁架与交叉支撑之间采用的是螺栓 连接，因此摩擦造成的能量损失是主要的。根据经验，对于每一阶振型可以选择 5%的临界阻尼。作用载荷的大小与时间的关系见图 9-6。1ZXHJ * IRTin rtn4T韵6.00亠11110.0011 1-丄L.JOjOO aoad 加620 聖时间(s)图9 -6载荷一时间特性在A.8节“ Cargo crane - dynamic loading，”中提供了一个命令执行文 件。在ABAQUS/CAE中运行这个文件，可以生成该问题的完整分析模型。如果 按照以下的指令步骤去做有困难，或者希望检查自己的工作，可以运行这个文 件
13、。在附录A中介绍了如何获取和运行这个文件的内容。如果你无权使用ABAQUS/CAE或其它的前处理程序，可以手工生成该问 题的输入文件，在 Getting Started with ABAQUS/Standard: Keywords Version 9.5节中的“例子：货物起重机一一动力载荷”中讨论了这个内容。9.5.1 修改模型打开模型数据库文件 Crane.cae，以Dynamic为名拷贝这个Static模型。除 了以下所述的一些修改之外，动力分析的模型基本上和静力分析的模型是一样 的。材料在动力分析中，每种材料的密度必须给定，这样才能形成质量矩阵。在起重 机中钢的密度为7800 kg/m3
14、。在这个模型中，材料属性是作为截面定义的一部分予以配置的。所以需要在 Property模块中编辑 BracingSection 和MainMemberSection 截面定义来指定密 度。在Edit Beam Section 对话框的Section material density域中为每个截面输入值7800.0。注意：如果材料数据的定义与截面属性无关，密度可在对材料定 义进行编辑时予以指定，这可以通过在Edit Material对话框中选择 General Density 来给出。分析步动力分析中的分析步定义和静力分析中的分析步定义完全不一样。因此，需 将以前建立的静力分析步删除，并定义两个
15、新的分析步。从Step模块中的主菜单条中，选择Step Delete删除静力分析步Tip load。与这个分析步相应的所 有载荷，边界条件以及输出要求也将被删除。动力分析中的第一个分析步用于计算结构的自振频率和振型。第二个分析步 则用这些数据来计算提升机的瞬态动力响应（模态）。我们假定这是一个线性的 分析过程。如果想在分析中模拟非线性，必须使用隐式动力程序对运动方程进行 直接积分。ABAQUS提供Lanczos法和子空间迭代法来提取特征值。当系统的自由度 很多，要求提取大量的模态时，一般来说 Lanczos方法的速度更快。当所要求 提取的模态很少（少于20阶）时，则用子空间迭代法更快。在该分析中，使用Lanczos法求解前30阶特征值。可以不指定所要提取的 模态的数目，而代之以指定所感兴趣的最小和最大的频率，当ABA
