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1、第七章不 等 式第一节不等式的性质及一元二次不等式本节主要包括2个知识点：1.不等式的性质；2.一元二次不等式.突破点(一)不等式的性质基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1比较两个实数大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbd同向同正可乘性acbd0可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0.a0bb0,0c.0axb或axb0b0，m0，则：(bm0)；0).考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
2、比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMN D不确定(2)若a，b，则a_b(填“”或“”)解析(1)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0.M N.(2)易知a，b都是正数，log891，所以ba.答案(1)B(2)方法技巧比较两个数(式)大小的两种方法不等式的性质例2(1)如果ab0，那么下列不等式成立的是()A. Babb2Caba2 Db，cd，则acbdB若acbc，则abC若，则ab，cd，则acbd(3)(201
3、6西安八校联考)“x13且x23”是“x1x26且x1x29”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析(1)法一(性质判断)：对于A项，由ab0，ab0，故0，故A项错误；对于B项，由ab0，abb2，故B项错误；对于C项，由ab0，a2ab，即aba2，故C项错误；对于D项，由ab0，得ab0，故0，1，ab2b21，ab2a24，1.故A、B、C项错误，D项正确(2)取a2，b1，c1，d2，可知A错误；当cbcab，B错误；0，a3，x23x1x26，x1x29；反之不成立，例如x1，x220，x1x26，x1x2109，但x13且x23”是“x1x
4、26且x1x29”的充分不必要条件答案(1)D(2)C(3)A方法技巧不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充分、必要条件相结合问题用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用(3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.设a，b0，)，A，B，则A，B的大小关系是()AAB BAB CAB解析：选B由题意得，B2A220，且A0，B0，可得AB.2.若m0，n0且mn0，则下列不
5、等式中成立的是()Anmnm BnmmnCmnmn Dmnnm解析：选D法一：(取特殊值法)令m3，n2分别代入各选项检验即可法二：mn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立3.若a0ba，cd0，则下列结论：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中，成立的个数是()A1 B2 C3 D4解析：选Ca0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故不成立a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故成立cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故成立ab，dc0，a(dc)b(dc)，故成立成立的个数为3.4.设a，b是实数，则“ab1”是“ab”的()A充分
6、不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A因为a，若ab1，显然a0，则充分性成立，当a，b时，显然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立突破点(二)一元二次不等式基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1三个“二次”之间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx2R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx22.不等式ax2bxc0(0对任意实数x恒成立或(2)不等式
7、ax2bxc0对任意实数x恒成立或考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；(3)ax2(a1)x10(a0)解(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.(3)原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以a(x1)0.所以当a1，即1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.方法技巧1解一元二次不等式的方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零
8、的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式由一元二次不等式恒成立求参数范围对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，
9、恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值考法(一)在实数集R上恒成立例2已知不等式mx22xm10，是否存在实数m使得对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x0，则x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立考法(二)在某区间上恒成立例3设函数f(x)mx2mx1(
10、m0)，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在1,3上恒成立，则mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立法一：令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，则m0.综上所述，m的取值范围是.法二：因为x2x120，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是mm0或0m.考法(三)在参数的某区间上恒成立时求变量范围例4对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4，则原问题转化为关于m的一次函数问题由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x3.故当x的取值范围是(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零易错提醒解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.不等式组的解集为()Ax|2x1 Bx|1x0Cx|0x1解
