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1、2009数学实验上机指导书实验一：Mathematica软件操作实验一、实验目的（1）掌握Mathematica软件的计算器功能；（2）学会使用Mathematica软件求各种类型方程（或方程组）的数值解和符号解；（3）通过本实验深刻理解极限概念；（4）学习并掌握利用Mathematica求极限的基本方法。（5）通过本实验加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法；（6）学习并掌握二重积分及线性积分的计算方法；（7）学习常用积分命令；（8）掌握求函数的导函数和偏导数方法；（9）学会使用Mathematica软件进行函数的幂级数展开。二、预备知识（1）方程（或方程组）代数解法的基本理论
2、，函数的零点，方程（或方程组）的解及数值解；极限、左极限、右极限的概念；定积分的概念、几何意义，二重积分的概念、二重积分化为定积分的过程及其计算方法；函数的导函数、偏导数以及函数的幂级数展开式；（2）本实验所用命令： 用“= =”连接两个代数表达式构成一个方程 求方程（组）的代数解：Solve方程或方程组，变量或变量组 求方程（组）的数值解：NSolve方程或方程组，变量或变量组 从初始值开始搜索方程或方程组的解：FindRoot方程或方程组，变量或变量组初值 在界定范围内搜索方程或方程组的解：FindRoot方程或方程组，变量或变量组范围 绘图命令：Plot表达式，变量，上限，下限，可选项
3、微分方程求解命令：DSolve微分方程, yx, x Limitexpr, x-x0 求表达式在时的极限 Limitexpr,x-x0,Direction - 1 求左极限 Limitexpr,x-x0,Direction -1 求右极限 不定积分：Integratef,x 定积分：Integratef,x，上限，下限 求F对于变量x的导数：D表达式F,x 按顺序求F关于x1，x2,的偏导数：D表达式F,x1,x2,. 求F对x的n阶导数：D表达式F,x,n； 求F关于变量x在x0的n阶泰勒展式：Series表达式F,x,x0,n 三、实验内容与要求（1）计算；。（2）对于方程，试用Solve
4、和Nsolve分别对它进行求解，并比较得到的结果，体会代数解即精确解与数值解的差别。（3）先观察函数的图形，然后选择一个初始点求解，并且根据图形确定在某个区间中搜索它的零点。（4）求方程组的解，然后代入系数和常数项的一组初值，并求解。（5）求微分方程的通解。（6）用 Mathematica软件计算下列极限：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）。（7）求函数的原函数；（8）求；（9）求；（10）求；（11）求。（12）求出被积函数F(x)=的原函数和导函数，并画出被积函数、原函数和导函数的图形，试分辨出哪一条曲线属于哪个函数
5、。（13）求函数sinx在点0处的10阶和20阶泰勒展式，并以图形方式对比展开的结果和sinx的差别，并分析阶数高的展式对于原来函数的逼近程度是否优于阶数低的展式。四、实验操作与结果In1:=NExp3,12Out1=20.0855369232In2:=Precision%Out2=12.In3:=546*54564Out3=29791944In4:=546*54564/NOut4=In5:=4654545676/NOut5= In6:=p=x4-2x3-4x2+3;Solvep=0,xOut6=(略)In7:=NSolvep=0,xOut7=x-0.973317-0.518738,x-0.9
6、73317+0.518738,x0.778428,x3.16821In8:= ClearxIn9:= f=Sinx-Cosx;Plotf,x,-4,4Out9= GraphicsIn10:=FindRootf=0,x,1Out10=x0.785398In11:= Cleara1,a2,b1,b2,c1,c2In12:=Solvea1*x+b1*y=c1,a2*x+b2*y=c2,x,y Out12= In13:= DSolveyx+3yx+2yx=Expx,yx,xOut13= In14:= Limit(n3)/(-n3+n2+1),n-InfinityOut14= -1In15:= Limi
7、tTanx,xPi/2,Direction1Out15= In16:= LimitTanx,xPi/2,Direction-1Out16= -In17:= Limit(3x-3-x)/(3x+3-x),xInfinityOut17=1In18:= Out18=In19:= Out19= In20:= Limit(1+x)a-1/x,x0Out20= -In21:= Out21= In22:= Out22=-927In23:= Out23= -927In24:= Out24=0In25:= Out25= Interval-1,1In26:= Integratea*Sinx2*x3,xOut26=
8、 In27:= Integratea*xn,xOut27= In28:= Integratea*xn,x,0,1Out28= In29:= Out29= In30:= IntegrateIntegratex*Cosy,y,0,x,x,0,PiOut30= pIn31:= f1=(x+1)/(x2+3x+5)Out31= In32:= f2=Integratef1,xOut32= In33:= f3=Df1,xOut33= In34:= Plotf1,f2,f3,x,-1,1Out34= GraphicsIn35:=s1=SeriesSinx,x,0,10Out35= In36:= s2=Ser
9、iesSinx,x,0,20Out36= In37:= g1=Normals1Out37= In38:=g2=Normals2Out38= In39:= Plotg1,Sinx,x,-5,5Out39= In40:= Plotg2, Sinx,x,-5,5Out40= 实验二 放射性废料的处理问题一、实验目的巩固和理解微分方程理论及其应用。二、预备知识常微分方程理论和Mathematica解方程的命令。三、问题的提出美国原子能委员会以往处理浓缩放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成
10、核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉到海底时的速度超过12.2 m/s，圆桶与海底碰撞会发生破裂。为避免圆桶碰裂，需要计算圆桶沉到海底时的速度是多少？这时已知圆桶重为239.46 kg，体积为0.2058 m3,海水密度为1035.71 kg/m3。如果圆桶下沉到海底时的速度小于12.2 m/s，就说明这种方法是可靠的；否则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比，其正比例常数为0.6。（1）根据问题建立数学模型。（2）根据数学模型求解的结果，判断这种处理废料的方法是否合理？四、问题分析及建立模型水平面海底水平面海底 水平面
11、海底圆桶运动规律： (1) （2）其中， 由题设可得圆桶的位移和速度分别满足如下微分方程： (3) (4)五、计算过程1、由（1）（2）（3）（4）以及题设的初始数据，通过如下Mathematica程序就可以求出圆筒的位移和速度的方程。源程序：In1:=m = 239.46; w = 0.2058; g = 9.8; p = 1035.71; k = 0.6;DSolvem*st = m*g - p*g*w - k*st, s0 = 0, s0 = 0, st, tDSolvem*vt = m*g - p*g*w - k*vt, v0 = 0, vt, tOut1= （5） （6）2、由（5）
12、及S(t)=90m，由下面程序得到：t=12.994 ，带入（6），运行如下命令得V=13.77212.2，此时说明此法处理废料不行。六、结果分析在实际情况中k 与 v 的关系很难确定，所以上面的模型有它的局限性，且对不同的介质比如在空气中和在水中k 与 v 的关系就不同。在一般情况下，k应是v的函数，即k=k(v)，至于 是什么样的函数很难确定。七、模型推广这个模型可以推广到其他方面，比如说一个物体从高空落向地面的道理也是一样的，尽管物体越高，落到地面的速度也越大，但决不会无限大。实验三 路程估计问题一、实验目的能用数学软件进行数据拟合。二、预备知识多元函数的极值求法；线性拟合的最小二乘法原
13、理。三、问题的提出外出旅行或行军作战等，都可能涉及到两地路程的估计问题。当身边带有地图时，这似乎是件很容易的事。然而，从地图上量出的距离却是两地的直线距离，你能由此估计出两地的实际路程吗？建立关于的模型：。（1）要确定与的近似函数关系，必须收集若干及与之相应的的具体数据，通过分析找出规律。这里将中国地图中量得四川省彭州市到其他几个城市的直线距离，并按比例尺（1cm为20km）进行转换，以及从到汽车站了解到的对应的实际路程的有关数据列于表2-2。表2-2 城市间直线距离和实际路程彭州市 成都郫县都江堰什邡德阳新繁广汉温江崇庆地图直线距离(cm)1.81.081.551.322.30.751.641.72.38地图转换距离d(km)3621.63126.4461532.83447.6实际路程
