《数值分析资料报告计算方法总结材料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析资料报告计算方法总结材料（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、word第一章 绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差方法误差、舍入误差是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限或误差限为 的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为： 即：绝对误差有量纲，而相对误差无量纲假如近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，如此称近似值有n位有效数字，或说准确到该位。例：设x=那么,如此有效数字为1位，即个位上的3，或说准确到个位。科学计数法：记有n位有效数字，准确到。由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，如此其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为如此它有n位有效数字令1.
2、 x+y近似值为和的误差限等于误差限的和2. x-y近似值为3. xy近似值为4.1防止两相近数相减2防止用绝对值很小的数作除数3防止大数吃小数4尽量减少计算工作量第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a) 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发， 按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进展一次根的搜索，即判别f(xk)=f(a+kh)的符号，假如f(xk)0(而f(xk-1)0),如此有根区间缩小为xk-1,xk (假如f(xk)=0，xk即为所求根), 然后从xk-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|xk-xk-1|E为止，此时取x
3、*(xk+xk-1)/2作为近似根。2.二分法设f(x)的有根区间为a,b= a0,b0, f(a)0.将a0,b0对分，中点x0= (a0+b0)/2),计算f(x0)。3.比例法一般地，设 ak,bk为有根区间，过(ak, f(ak)、 (bk, f(bk)作直线，与x轴交于一点xk,如此：1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列递推公式，使该点列收敛到方程的根。这正是迭代法的根本思想。事先估计:事后估计局部收敛性判定定理： 局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在
4、准确解的附近Steffensen迭代格式：Newton法：Newton下山法：是下山因子弦割法：抛物线法：令其中：如此： 设迭代 xk+1 = g(xk) 收敛到g(x) 的不动点根 x* 设 ek = xk-x*假如如此称该迭代为p不小于1阶收敛，其中 C(不为0)称为渐进误差常数第三章 解线性方程组直接法列主元LU分解法：计算主元选主元 对于Ax=b，三角分解A=LU，Doolittle分解：L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵；Crout分解：L为下三角矩阵，U为单位上矩阵。可分解为：假如利用紧凑格式可化为：Cholesky平方根法：系数矩阵A必须对称正定改良Cholesky分解法：其中：
5、追赶法：Ax=d(A=LU),可化为Ly=d,Ux=y 向量数：矩阵数：谱半径:收敛条：谱半径小于1条件数：第章 解线性方程组的迭代法Jacobi迭代：基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代:迭代收敛：谱半径小于1，数小于1能推出收敛但不能反推逐次超松弛迭代SOR: 当=1时，就是基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代加权平均。第五章 插值法 Lagrange插值法：构造插值函数： 如此： 假如记： 如此可改为： 如此插值余项： 逐次线性插值法Aitken 埃特金法： Newton插值法： N(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+an(x-x0)
6、(x-x1)(x-xn)并满足N(x)=f(x) 差商的函数值表示： 差商与导数的关系： 如此： 等距节点Newton插值公式： Newton向前插值： 余项： Newton向后插值： 余项： Hermite插值： 插值余项： 待定系数： 三次样条插值：三弯矩构造法 记 对于附加弯矩约束条件： 对于附加转角边界条件： 对于附加周期性边界条件： 上式保证了s(x)在相邻两点的连续性第六章 函数逼近与曲线拟合 主要求法方程第七章 数值积分与数值微分 求积公式具有m次代数精度的充要条件： 插值型求积公式 Newton-Cotes等分 梯形求积公式n=1，具有1次代数收敛精度 误差公式： 抛物型求积公
7、式Simpson求积公式，n=2，具有3次代数收敛精度 误差公式 Newton求积公式Simpon3/8法如此 具有3次代数收敛精度 Cotes求积公式n=4，具有5次收敛精度 误差公式 节点数为奇数时，代数精度为n;为偶数时，代数精度为n+1。代数精度都是奇数。 复化梯形求积公式： 截断误差： 复化Simpson公式： 截断误差： 复化Cotes求积： 截断误差： 假如一个复化积分公式的误差满足 且C 0，如此称该公式是 p阶收敛的。 复化求积公式需要2n+1个求积节点 Romberg求积算法： 复化梯形求积公式： 复化Cotes求积公式： Gauss型求积公式： 积公式： 截断误差： 高斯求积公式代数精度为2n+1 Gauss-Legendre求积公式注意区间-1,1，变换可得：形如：求积系数可通过代数精度或插值型求积公式求积系数公式求出，亦可由下式求得： 截断误差： Gauss-Chebyshev求积公式：形如： 求积系数：(必为正) 截断误差： Gauss-Laguerre求积公式：形如： 求积系数： 截断误差： Gauss-Hermite求积公式：形如： 求积系数： 截断误差： 三点数值微分公式： 泰勒级数展开：第八章 常微分方程求解 Euler法：为一阶法f(x,y)为y的导数 梯形方法改良Euler法： 四级四阶经典Runge-Kutta公式 /
