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1、无穷积分的收敛性与无穷远处的极限打开文本图片集【摘要】无穷积分在物理学和概率统计上具有十分广泛的应用。无穷积分收敛并不意味着被积函数在无穷远处的极限为0,本文给出一些保证上述结论成立的充分条件。更进一步，在单调性的条件下可以给出无穷小量阶的估计。最后举例说明了本文的结果可以帮助判断某些函数的非一致连续性。【关键词】无穷积分无穷小量的阶一致连续1.前言在定积分的研究中，我们在一个有限闭区间a，b上研究有界函数f(x)，若函数永远在x轴的上方，我们说f(x)dx表示的就是函数图形下的面积。然而实际中有限区间上定积分的应用是非常有限的，通常我们需要考虑无穷积分和瑕积分等反常积分。例如在概率论与数理统
2、计中，指数分布具有如下的概率密度函数p(x)二入e-入x,x00,otherwise由于服从指数分布的随机变量只能取值于非负实数，从而常常被用來描述各种有关寿命的分布，像灯泡的寿命，动物的寿命，排队论中的服务时间等。我们比较感兴趣的量，比如若某工厂生产的灯泡寿命服从参数为0.01的指数分布，则灯泡的平均寿命为0.01xe-0.01xdx于是研究无穷积分是非常有必要的。当f(x)0,a通常为一个非负常数时，由f(x)dx的几何意义来看，似乎当x越大时，f(x)的值要很小才能保证无穷积分f(x)dx的收敛性。然而我们很容易举出反例：f(x)=，x不是正整数1,x是正整数则无穷积分f(x)dx收敛，
3、但是f(x)永远在正整数点处为1，从而不满足f(x)=0我们还发现，无穷积分f(x)dx收敛，加上被积函数的非负性甚至是非负性加连续性都不能保证被积函数f(x)在无穷远处的极限为0。于是本文讨论f(x)dx收敛与f(x)=0的关系，并指出在合适的条件下f(x)dx收敛能够推出f(x)=0。2.1被积函数在无穷远处极限为0的充分条件首先给出在被积函数是a,+乂)上一致连续的时候，此时无穷积分收敛可以得到被积函数在无穷远处的极限为0。定理2.1若函数f(x)在a,+x)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明f(x)=0证明：(反证法)若XT+X时，f(x)T0。则存在？缀00,对？坌A0,存
4、在x1As.t.f(x1)|？缀0。又f(x)在0,+乂)上一致连续，则对0,?埚50,当|x-x|W5时，有|f(x)-f(x)|f(x)|=|f(x)-f(x1)+f(x1)|f(x)|-|f(x)-f(x1)|则必有f(x)与f(x1)同号。于是若f(x1)0,则f(x)0,由上式可知f(x)，故f(x)dx5此式对于f(x1)0,对任意的A0,存在x1+Sx1A使得f(x)dx5。根据柯西收敛准则f(x)dx发散。与条件矛盾，从而f(x)=0定理2.2设函数f(x)满足f(x)存在，且对于任意的Aa,f(x)和f(x)都是a,A上的可积函数。f(x)dx和|f(x)|dx都收敛，证明f
5、(x)=0证明：由于|f(x)|dxO,?埚M0当A1,A2M时，有f(x)dxw|f(x)|dx假设f(x)=a(az0)，不妨认为a0.则存在N,当xN时，f(x)0.于是f(x)在(N,+=)上单调递增，f(x)dx(B-N),即f(B)-f(N)-N)，两端令pi+x可得f(x)=+,这与f(x)dx收敛矛盾，从而f(x)=0若f(x)工0,则存在xn和？缀0,使得xn二+x，且有f(xn?缀00或f(xn对任意的？缀0,?埚K,当xK时，f(x)于是，对每个xn,n充分大，使得xn-&取5f(x)-f(xn)=f(E)x-xnf(x)f(xn)-s?缀0-?缀30.故存在(？缀0-?
6、缀3)3，对任意的MK0存在xn+3xnMs.t.f(x)dx(?缀0-?缀3)3。从而由柯西收敛准则可知f(x)=0定理2.3若f(x)连续可微，无穷积分f(x)dx和f(x)dx都收敛，则f(x)=0.定理2.3的证明类似，这里不再赘述。2.2更进一步的结论：阶的估计定理2.4设函数f(x)在a,+x)上单调，并且无穷积分f(x)dx收敛，证明xf(x)=0,即f(x)=o()(xt+x)。证明：不妨设f(x)单调递减，则我们有f(x)0。因为若存在某个x1,s.t.f(x1)x1时，f(x)由于f(x)dx收敛，则对？坌？缀0,?埚Aa,当AAA时,有f(x)dx故对？坌x2A,0xf(
7、x)0,首先证明xf(x)非负，否则若存在x1a,s.t.x1f(x1)x1时，xf(x)x1f(x1),f(x)-0,则由比较判别法可知f(x)dx发散，这与条件矛盾,从而xf(x非负。由f(x)dx收敛知，对？坌？缀0,?埚Aa,当AAA时，有f(x)dx于是当xA2时，0wxf(x)In(x)0,?埚50,当x1,x2l且x1-x2例3.1判断函数f(x)=cosx2在1,+x)是不是一致连续性。方法一：取xn二,xn二(n=1,2,)，则有xn-xn二-=宀0(n+x)。但是cosxn2-cosxn2三1(n=1,2,)，从而f(x)=cosx2在1,+乂)不是一致连续。方法二：由于cosx2dx=dt对于任意的x1,cost在1,x上可积,并且对任意的x1,costdt2又在1,+乂)单调，=0。从而由狄利克雷判别法可知cosx2dx收敛。而由于f(x)在xn=(n=1,2,)处取值恒为1,从而f(x)在正无穷处不可能以0为极限。则由定理2.1可得，f(x)=cosx2在1,+x)不是一致连续。4.本文首先指出无穷积分存在的必要性，接着给出了一些由无穷积分收敛得到被积函数在无穷远处极限为0的充分条件，然后在单调性下得到更进一步的结果：阶的估计。最后举例说明我们的结果可以用来判断函数不是一致连续的。
