《互不同构的18阶和20阶群》由会员分享，可在线阅读，更多相关《互不同构的18阶和20阶群（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、抽象代数小论文互不同构的18阶和20阶群姓名：成超班级：F0907101学号：5090719019一 互不同构的18阶群1. 互不同构的18阶Abel群设A为18阶的Abel群，则。由Sylow定理可以确定A的Sylow子群阶数分别是：和。从而得到A的初等因子有（2,3,3）和（2,9）。所以18阶Abel群有两个：和。（2,3,3）化为不变因子是（3,6），所以。（2,9）化为不变因子是（18），所以。从而确定互不同构的18阶Abel群有两个：和。2. 互不同构的18阶非Abel群设G为18阶非Abel群。由Sylow定理可知，G必有9阶的Sylow-3子群，不妨记为S。2.1 S是循环群：
2、则，再取G中2阶元b ，则有。设，则，故。由可解得，即。所以，。2.2 S不是循环群：则必有，再取G中2阶元c，则有。设。则有：所以可以得到如下的同余方程组： 其中而且，在解这个同余方程组的时候，应当注意到如下的事实： 即若方程组有一解为，则还有对应的另一解 但是这两组解从本质上讲是一样的，这是因为只要交换下第一组解的a和b的位置，就能的到第二组解，所以，这两组解只算作一组解。从而我们可以得到如下7组方程组的解： 即 即 即 即 即 即 即 下面再来探究这几组解的性质：首先，因为G非Abel群，所以(2)不合条件，舍去。对于(3)：有； 即在(1)中用代替a，用a代替b，可见(3)和(1)同构
3、。对于(4)：有； 即在(1)中用代替a，用代替b，可见(4)和(1)同构。对于(5)：有； 即在(1)中用代替a，b保持不变，可见(5)和(1)同构。对于(6)：有； 即在(1)中a保持不变，用代替b，可见(6)和(1)同构。对于(7)：可证明(7)与(1)不同构：反证法：若(7)与(1)同构，则存在(7)中的，可以代替（1）中a的位置。但，即在(1)中，这与矛盾。所以(7)与(1)不同构。故剩余的是：；。所以，互不同构的18阶非Abel群有：；二 互不同构的20阶群1. 互不同构的20阶Abel群设B为20阶的Abel群，则，由Sylow定理可以确定B的Sylow子群阶数分别是：和。从而得
4、到B的初等因子有（2,2,5）和（4,5），所以20阶Abel群有两个：和。（2,2,5）化为不变因子是（2,10），所以；（4,5）化为不变因子是（20），所以；从而确定互不同构的20阶Abel群有两个：和。2. 互不同构的20阶非Abel群设G为20阶非Abel群。由Sylow定理可知，G必有5阶的Sylow-5子群和4阶的Sylow-2子群。Sylow-5子群的个数满足：，只有唯一解，记这唯一的Sylow-5子群。Sylow-2子群个数满足：，则或。当时，G是Abel群，所以，。这时，G有5个相互共轭的4阶Sylow-2子群，不妨记其中一个为K。2.1 K是循环群：则。设，则，所以，即，i可取1,2,3,4。，则G是Abel群，舍去。，则，此时。，则，此时，与同构。 ，则，此时。2.2 K不是循环群：则。设，则有，所以，即。i可取1,4；j可取1,4。，则G是Abel群，舍去。，则，此时。，则显然与同构。 ，则，此时，所以与同构。所以，互不同构的20阶非Abel群有三 结论18阶Abel群：，；18阶非Abel群：；。20阶Abel群：，；20阶非Abel群：；。
