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1、嘉兴学院南湖学院（2011届） 本科毕业论文（设计）题目： 反常积分的研究 学院： 专业： 数学与应用数学 班级： 学号： 姓名： 指导教师： 诚 信 声 明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。论文(设计)作者签名： 签名日期：2011年3月10日授 权 声 明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全
2、部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。论文(设计)作者签名: 签名日期：2011年3月10日反常积分的研究*学院摘要：本文从反常积分的背景出发，介绍了反常积分的定义，性质和收敛性判别法.此外,本文对反常二重积分的一些简单问题以及反常积分在现实中的简单应用进行了讨论.最后，本文还叙述了无穷积分与无穷级数之间的联系与差别.关键词：反常积分；数学分析；换元法；反常二重积分；无穷级数Study on Improper Integral* UniversityAbstract：From the ba
3、ckground of the improper integral, this paper introduces the definition, properties and convergence criterion. In addition ,it discusses some simply questions of improper double integral, as well as a simple application in the real of improper integral. Finally, the paper also describes the ties and
4、 differences between infinite integral and infinite series.Key words：improper integral, mathematical analysis, method of substitution, improper double integral, infinite series目 录1 引言11.1 反常积分的背景11.2 反常积分的定义12 反常积分的性质和其收敛判别法32.1 反常积分的性质32.2 反常积分的收敛判别方法43 反常二重积分的简单讨论63.1 反常二重积分的定义63.2 反常二重积分的性质74 反常积
5、分的计算和收敛性判别的举例94.1 反常积分的计算和收敛性判别的举例94.1.1 反常积分的计算举例94.1.2 反常积分的收敛性判别举例114.2 反常积分在现实中的简单应用135 无穷积分与无穷级数的联系与区别.15 5.1 无穷级数的简单介绍.155.2 无穷积分与无穷级数的联系.175.3 无穷积分与无穷级数的区别.196 结束语207 致谢.21参考文献22嘉兴学院南湖学院本科生毕业论文（设计）1 引言1.1 反常积分的背景错误！未找到引用源。 Riemann积分要求积分区间有限且被积函数在该区间上有界.但在实际的应用（特别是物理应用）中,上述条件不满足,仍需要某种形式的积分.因此,
6、积分的概念需要推广,保证我们也可以讨论区间无限或无界函数的类似的积分问题,这就是本章所介绍的反常积分或广义积分.首先由一个例子引入：设地球的半径为R,质量为M根据万有引力定律知,地球对距球心人处质量为物体的引力为： .特别,当, ,因而.考虑将质量为的火箭从地面发射到引力所作的功.利用微元法,并且由W与F(r)之间有关可得dW=F(r)dr.因此,则火箭飞到无穷远处克服地球引力所作的功为 假设以速度发射,它得到的动能为要使它飞出地球引力范围,则必须 1.2 反常积分的定义定义11 韩云端,扈志明. 微积分学习指导M. 北京: 清华大学出版社, 2006.：设函数 定义在无穷区间 上,且在任何有
7、限区间 上可积,如果存在极限 则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分）,记作 ,并称 收敛.如果极限 不存在,为方便起见,亦称 发散. 定义2： 设函数定义在 上,在点的任一右邻域内无界,但在任何内闭区间 上有界且可积,如果存在极限,则称此极限为无界函数在 上的反常积分,记作 ,并称反常积分 收敛,如果极限不存在,这时也说反常积分 发散.52 反常积分的性质和其收敛判别法2.1 反常积分的性质（一）无穷反常积分的性质(1)在区间上可积 , 是常数 , 则函数区间上可积, 且 .(2) 和 在区间上可积 , 由此在区间上可积,且 . (3) 无穷积分收敛的Cauchy准则:若积分
8、收敛，则. （二）瑕积分的性质(1)在区间上可积 , 是常数 , 则函数区间上可积, 且.(2) 和 在区间上可积，由此在区间上可积,且. 2.2 反常积分的收敛判别方法 (一) 比较判别法: 设在区间 上函数 和 非负且,又对任何， 和在区间 上可 积 ， 若，则 ；若 ，则. 推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间上函数. 则 i ; ii ; iii 推论2 （Cauchy判敛法）: 以 为比较对象, 即取.以下假设，若对任何, ,；若 . Cauchy判敛法的极限形式 : 设 是在任何有限区间 可积的正值函数. 且 . 则 1)2) .(二) 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法:1)
9、阿贝尔判别法: 若 在区间 上可积 , 单调有界 ,则积分 收敛. 2) 狄利克雷判别法: 设 在区间上有界 , 在上单调,且当 时,.则积分 收敛. 3 反常二重积分的简单讨论3.1 反常二重积分的定义定义22 邝荣雨等. 微积分学讲义(第二版)第三册M. 北京:北京师范大学出版社,2006.： 设D为 中的一无界区域（例如,全平面、半平面、角域、带形区域、任一有界区域的外部等等）,函数 在D中有定义且有界.用任意一条光滑曲线L在D中画出（可求面积）有界区域都D.设的二重积分 存在,当曲线L连续变动,使自坐标原点到L上的点的最小距离 时,所划出的区域D.无限扩展而趋于（或笼罩）区域,记为 ,
10、此时称为函数 在无界区域上的广义积分,记为 = 如果不论曲线的形状如何,也不论 的扩展过程如何, = 式右端有惟一的有限极限值存在,则称广义二重积分收敛,极限值称为广义二重积分值.此时也称在上广义可积,简称可积.若(1)式右端的极限不存在,或者极限值依赖于曲线的形状及区域 的扩展过程,则称广义二重积分发散,也称在上不可积.定义3： 设 为有界区域,点 ,函数 在 上（可除去点 ）有定义. ,且 .若 ,则称点 为函数在区域上的一个瑕点.以点为中心,以 为半径作一小圆 ,设在 区域内可积,此时称 为 在D中的含瑕点的广义二重积分.若3-2式右端有惟一的有限极限存在,则称含瑕点的广义二重积分收敛,
11、极限值称为函数的含瑕点的广义二重积分值.若式右端的极限不存在,则称函数的含瑕点的广义二重积分发散.3.2 反常二重积分的性质(1) 无界区域上广义二重积分的柯西判别法.设为无界区域,如果 ,当 时,有.其中 为常数,则广义二重积分 收敛； (2) 含瑕点的广义二重积分的柯西判别法设在内 有瑕点 ,若对于 充分接近的点 ,有.其中 则收敛.那么对于广义二重积分而言, 收敛与绝对收敛（即收敛）之间有何关系？对于无穷区域上的广义二重积分和含瑕点的广义二重积分而言,收敛和绝对收敛之间的关系3 施明存,武海燕.微积分同步辅导M北京:高等教育出版社,2008 如下：（i）若绝对收敛,则收敛.这和一元函数的广义积分的结论一样.（ii）若收敛,则绝对收敛.这是二重广义积分与一元函数的广义积分的主要区别.4 反常积分的计算和收敛性判别的举例4.1 反常积分的计算和收敛性判别的举例介绍了前面的相关概念之后,我们首先来看几个反常积分的计算和判断其是否收敛的例子.4.1.1 反常积分的计算举例（1） 先来看几个一重反常积分的例子例13 求积分 解:=例24
