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1、循环冗余校验码（CRC）的基本原理循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。 校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式f(X)表示，将f(x)左移R位（则可表示成f(x)*XR），这样f(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过f(x)* XR除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。 几个基本概念 1、多项式与二进制数码 多项式和二进制
2、数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。 多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式f(x)。 如生成多项式为G(x)=X4+X3+X+1， 可转换为二进制数码11011。 而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为f(x)=X3+X2+X+1。 2、生成多项式 是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。 在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确
3、定错误位置。 应满足以下条件： a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。 b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。 c、不同位发生错误时，应该使余数不同。 d、对余数继续做模2除，应使余数循环。 将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示： N K 码距d G(x)多项式 G(x)7 4 3 x3+x+1 10117 4 3 x3+x2+1 11017 3 4 x4+x3+x2+1111017 3 4 x4+x2+x+11011115 11 3 x4+x+1 1001115 7 5 x8+
4、x7+x6+x4+1 11101000131 263 x5+x2+1 10010131 215 x10+x9+x8+x6+x5+x3+1 63 573 x6+x+1 100001163 51 5 x12+x10+x5+x4+x21041 1024 x16+x15+x2图9 常用的生成多项式 3、模2除（按位除） 模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位做下一位的模2减。步骤如下： a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。 b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右
5、移一位。 c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。 【例】1111000除以1101： 1011商 1111000-被除数 1101 除数 1000 1101 1010 1101 111余数 4、CRC码的生成步骤 （1）将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。 （2）将信息码左移R位得到多项式f(x)*XR 。（3）用生成多项式（二进制数）对f(x)*XR做模2除，得到余数（即校验码）。 （4）将余数多项式加到f(x)*XR中，得到完整的CRC码。 【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。 解：
6、（1）将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。 （2）此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文F(x)左移3（R）位变成1010000 （3）用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除： 1001-商 - 1010000 1011-除数 - 1000 1011 - 11-余数（校验位） （4）编码后的报文（CRC码）： 1010000 +11 - 1010011 CRC码为1010011（和纠错）。 在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0，则码字无误。若得到余数不为0，则接收的数据有错。5、通信与网络中常用的CRC
7、 在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16x16+x15+x2+1 和 CRC-CCITTx16+x15+x2+1。 【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式 G(x)x3+x2+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成 CRC 码。若发送信息位 1111 和 1100 则它的 CRC 码分别为A和B。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的 CRC 码，例如码字C、D、和E。（1998年试题11）供选择的答案 A： 111110
8、0 1111101 1111110 1111111B： 1100100 1100101 1100110 1100111CE： 0000000 0001100 0010111 0011010 1000110 1001111 1010001 1011000解：A：G(x)1101，f(x)1111，f(x)*x3G(x)111100011011011余111得到的CRC码为1111111B：G(x)1101，f(x)1100，f(x)*x3G(x)110000011011001余101得到的CRC码为1100101CE：分别用G(x)1101对 作模2除: 00000001101 余000 111
9、11011101 余001 00101111101 余000 00110101101 余000 10001101101 余000 10011111101 余100 10100011101 余000 10110001101 余100所以C、D和E的答案是、【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC，即 _A_ 码。在进行编码过程中要使用 _B_ 运算。假设使用的生成多项式是 G(X)=X4+X3供选择的答案： A： 水平垂直奇偶校验 循环求和 循环冗余 正比率 B： 模2除法 定点二进制除法 二十进制除法 循环移位法 C： D： 可纠正一位差错 可检测所有偶数位错 可检测所有小于校验位长度的突发错 可检测所有小于、等于校验位长度的突发错 解：从前面有关CRC的论述中可得出： A： 循环冗余 B： 模2除法 C：G(x)11011，f(x)F(x)得到的CRC码为 D：从前面有关通信与网络中常用的CRC的论述中可得出： 可检测所有小于、等于校验位长度的突发错
