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1、第四讲 因数与倍数(数的整除特性)【知识概述】整除是指整数a除以整数b(0除外)除得的商正好是整数而余数是零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a),记作b，读作“b整除a”或“a能被整除”。它与除尽既有区别又有联系。除尽是指数a除以数b（b子）所得的商是整数或有限小数而余数是零时,我们就说能被除尽（或说b能除尽a)。因此整除与除尽的区别是:整除是指被除数、除数以及商都是整数，而余数是零；除尽并不局限于整数范畴内,被除数、除数以及商可以是整数,也可以是有限小数,只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊状况。整除的某些性质为:(1）如果a与都能被整除,那么a+b与a-也能被c整除
2、。（2）如果a能被b整除,c是任意整数，那么积ac也能被b整除。(3)如果a同步被b与整除，并且b与c互质,那么a一定能被积c整除。反过来也成立。有关数的整除特性:（)能被整除的数的特性是：个位数字为0,，4，6，8的整数。(2)能被5整除的数的特性是：个位数字为0,5的整数。(3）能被2,整除的数的特性是：个位数字为0的整数。（4)能被3（或9)整除的数的特性是：各个数位上的数字之和是3(或9)的倍数的整数。()能被2，3,5整除的数的特性是:个位数字为0,且各个数位上的数字之和是3的倍数的整数。()能被4，25整除的数的特性是:末两位能被4，2整除的整数。如2168,由于68能被4整除（或
3、者说是4的倍数),我们就说2168能被4整除，但不能被5整除。而如75就能被5整除，但不能被4整除。而210既能被25整除,也能被4整除。()能被，5整除的数的特性是：末三位能被8，25整除的整数。如3625，由于65是125的倍数,不是8的倍数,因此23625能被125整除，而不能被整除。(8）能被1整除的数的特性是:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是1的倍数。例题精学例1 在内填上合适的数字，使:()34能同步被2,，4，5整除;（2）36能被2整除。【思路分析】(1）题目规定34能同步被2，,5整除,由于能被4整除的数一定能被2整除，因此34只要能被3,4,
4、5整除，就一定能被2,3，4,5整除。先考虑能被5整除的条件。个位是或5,再考虑能被整除的条件,由于不能整除34,因此个位必须是0。最后考虑能被3整除的条件,3的各个数位上的数字和是3的倍数,3+4+07,这时十位数字只能是2或5,8。又由于不能被整除，因此十位数字是2或8。(2）题目规定736能被24整除,24=38，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除,只要分别考虑被3，8整除就行了。先考虑被8整除的条件,76的末三位数所构成的数36能被8整除，因此个位数字只能是0或8,当个位数字为0时，由于规定7360能被3整除，因此7+3+6+0=1+能被整除，这样千位教字只能是或5或8；当个
5、位数字为8时,由于规定7368能被整除，因此7+3+6+8=24+能被3整除,这样千位数字只能是0或或6或。同步精练1. 五位数41中的固内填什么数字，才干被3整除且具有约数5,写出这些数。2. 在35背面补上三个数字，构成一种六位数,使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽量小。3. 既能被2整除,又是3的倍数,尚有约数5的最小两位数是多少?最大的两位数是多少?例2 四位数2能同步被2,5整除，这样的四位数有几种？分别是多少？【思路分析】要使四位数7门同能同步被，3，5整除，个位上的数是几？又要使四位数7同2能被3整除，百位上可取哪些数?为什么？满足这些条件的四位数有4个。同步精练1. 个位数
6、是5,且能被9整除的三位数共有多少个?2. 求一种首位数字为的最小六位数，使这个数能被整除,且各位数字均不相似。3. 四位数6ab能被2,3，5整除,这样的四位数有几种?分别是多少？例3有一种两位数不能被3，9整除,加上8后就可以被3，6,9整除了，请问这个两位数最大是多少?【思路分析】能被整除的数的特性是各位上的数字之和能被3整除,这个数就能被整除。能被整除的数的特性也是各位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。能被6整除的数的特性是各位上的数字之和能被3整除，并且这个数是偶数，这个数就能被6整除。能被3，6,9整除的数就一定能被18整除。加8后被1整除的最大两位数是82。同步精练.已
7、知一种五位数是5ab,能被7整除，求与b的积。2.有一种四位数,千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了,懂得这个数十位上的数字是,个位上的数字是2。又懂得这个数如果减去能被7整除,减去8能被8整除，减去9能被整除。求这个四位数。.用1，2，8,这九个数字构成数字不反复的三位数。第二个数是第一种数的两倍,第三个数是第一种数的三倍。在所有这些三位数中,最大的一种三位数与最小的一种三位数之差是多少？例4 商店里有只不同的货箱，分别装有货品15，1，1,9,20，31公斤。两个顾客买走其中5箱货品,而一种顾客买的货品重量是另一种顾客的2倍，商店里剩余的那箱货品重量是多少公斤?【思路分析】规定商店里剩余的
8、货品是多少公斤，就要懂得两个顾客买走的5箱货品是多少公斤。根据“一种顾客买的货品重量是另一种顾客的2倍”可知:两个顾客买走的5箱货品的总重量应是的倍数。计算6箱货品的总重量是5+89+20+31=119（公斤),119除以余2；由于卖出的5箱货品的总重量是的倍数,因此剩余的那箱货品重量除以3也应余。可见，剩余的货品重量为20公斤。同步精练1. 把一张纸剪成6块,从所得的纸片中取出若干块，每块各剪成6块;再从所有的纸片中取出若干块,每块各剪成6块如此进行下去，到剪完某次停止。所得的纸片总数有也许是,，这四个数中的（ )。2. 一位后勤人员买了72台微波炉,可是由于她吸烟不小心,灭星落在账本上，把
9、这笔账的总数烧去两个数字。账本是这样的：7台微波炉，共79元(为被烧掉的数字,微波炉单价为整数）,请把处数字弥补上,并求出微波炉的单价。3. 希希买了支铅笔,支圆珠笔,3本练习本和5块橡皮,她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块分,其他她没注意,售货员要她付元8角，希希立即说:“阿姨你算错了。”请问售货员的账算错了没有?为什么?练习卷一、填空。.用2，7,0三个数字可构成不同的三位数，其中：（1)是2的倍数的有（ ）；（2）有约数5的有（ )(3)能被3整除的有（ )。2.用，5,6可以排成（ )个不同的三位数，这些三位数中:（1)具有质因数的三位数有( ）；(2)具有质因数5的三位数有( );（
10、3)既具有质因数2，又具有质因数3的三位数有( )。.用7,3，6四个数字构成的各位数字互不相似的四位数中，既能被8整除，又有约数9的最小数是( ）。.既能被3整除，又是5的倍数的两位数中，最大的奇数是( ）。5.在里填上合适的数字，使七位数1994能同步被9，8,25整除。二、解决问题。.把915持续写多少次，所构成的数就能被9整除,并且这个数最小?2. 从，1,2,4,7五个数中选出三个构成三位数，其中能被3整除的有多少个？3. 有0,1，4，7，9五个数字,从中选出四个数字构成一种四位数（例如09）,把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是多少?4. 有一种四位数,
11、它的个位数字与千位数字之和为10，且个位数字是质数又是偶数,去掉个位数字与千位数字,剩余的那个两位数是质数。又懂得这个四位数还能被7整除。求这个四位数。5. 某些四位数,百位数字都是3,十位数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。甲是这样的四位数中最大的,乙是最小的，则甲、乙两数的千位数字与个位数字(共四个数字)的总和是多少?6. 小王买了3支铅笔，支圆珠笔,8本笔记本和2块橡皮,总共用去元角钱。已知铅笔4分一支,圆珠笔3角6分一支,问营业员的账有无算错？.某校组织了9个学雷锋活动小组,各组人数如下:组别1245789人数791111314172一天上午有8个小组去参与车站与敬老院“献爱心”活动。其中去敬老院的人数是去车站的6倍。剩余的一种小组到部队慰间，这是第几组?
