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1、三角形全等之截长补短（讲义）、知识点睛截长补短：题目中出现 W,考虑截长补短；截长补短的作用是二、精讲精练1 .已知：如图，在 ABC, / 1=/ 2, / B=2/ C.求证：AOABBD）.2 .如图，在四边形ABCDfr, ZA=Z B=90o，点E为AB边上一点，且DE平分/ ADC CE平分/ BCD求证：CDADfBC.C3 .已知：如图，在正方形 ABCW, AD=AB,/ B=/D=/BAD=90 , E, F 分别为 CD BC边上的点，且/ EAF=45 ,连接 EF. 求证：EF=BF+DEBFC4.已知：如图，在 ABC, /ABG60 , ABC的角平分线 AD,
2、CE于点Q求证：ACAE+CDBDEB5.已知：如图，在 ABC, /A=90 , AB=AG BD平分/ ABC CHBD交BD的延长线于点 E._1 _求证：CE -BD2A【参考答案】【知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系.【精讲精练】1.补短法：证明：如图，延长 AB到E,使BE=BR连接DE : / ABDO BDE的一个外角 ./ABD=/E+ /BDEBE=BD. / E=/ BDE / AB=2Z E / AB=2Z C. / E=/ C在 zAD即 AADCE CI ；Z1 u/2AD = AD .ADE1AADC (AASAE=ACAC=
3、AB+ BE=AB+ BD截长法:证明：如图，在AC上截取AF=AB,连接DF.在ABDft zAFD 中AB =AF .1 2 AD =AD .ABDI zAFD (SAS. ./B=/ AFQ BD=FD / B=2/ C . / AFD=2/ C: / AFD DFC的一个外角 ./AFD=/C +/FDC ./ FDC：/CDF=FC . BD=FCAC=AF+FC=ABBD2 .证明：如图，在CD上截取CF=CB. CE平分 / CBD/ 1=/ 2在CFEffl zCBE 中D.CE =CEAE .CF草 ACBE (SAS ./ CFE=/BvZ B=90o ./CFE=/DFE
4、=90vZ A=90 ./ DFE=ZAv DE平分 / ADC / 3=/4在ADE林口 zDEA中.DFE =/AI.3 =/4DE =DE. .DE图 zDEA (AAS DF=AD . CD=DF+CFADfBC3 .证明：如图，延长FB至IJG,使BG=DE，连接AG / D=Z AB(=90 ./ABG:/D=90在ABGffi zADE 中AB=ADIABG=- DBG=DE .AB8 AADE (SAS .AG=AE, / 1=/ 2 / BAD：90 , / EAF=45 / 2+/ 3=45. / 1+/ 3=45即 / GA=45./ GAE/EAF在AGFffi zAE
5、F 中AG =AEGAF = EAFAF =AF. .AG国 AAEF (SAS.GF=EF,.GF=BF+BGEF=BF+DE4.证明：如图，在AC上截取AF=AE,连接OF.AR CE为 ABC的角平分线E.1/ 1=/ 2, / 3=/ 4在AEOffi /XAFO 中AE = AFI.1=2AO =AO.AE堡 AAFO (SAS/ 5=/ 6/ AB(=60. / 1+/ 2+/ 3+/4=180ZB=18060=120 / 2+/ 3=60/AO(18060=1200/ 5=/ 6=/ 7=/ 8=60在OFCffi ODB/8 =/7OC =OC/3 二24. .OF3 AODC
6、 (ASA .CF=CDAC=AF+FCAEfCD5.证明：如图，延长CE, /CEL BD ./ BEF=/BEC：90 / BA(=90o ./ CAF=/BAD=90 / 3=/4/ 1=/ 5在BADffi zCAF 中 1= 5AB = AC/BAD =NCAF. .BA必 zCAF (ASA BD=CFv BE平分 / ABC/ 1=/2在ABEF和zBEC中.1 =/2IBE =BEBEF = BEC. .BE酌 ABEC （ASA. EF=EC.ce=1cf 2-1 一 .CE1BD2三角形全等之截长补短每日一题1.（4 月 28 日）在 ABC中，ADI BC于 D, / B
7、=2/ C. 求证：CDABfBD.2. （4 月 29 日）如图，在 ABC中，ABAG / 1=/ 2, P为 AD上任意一点，连接BP, CP求证：AB AOPB PC3. （4月30日）已知：如图，/ 1 = /2, P为BN上一点，且PD1BC于点 D, /A+/ 0180 .求证：BDABCD4. （5月2日）如图，在正方形 ABCDfr, E为BC边上任意一点，AF平分/ DAE连接EF.求证：AE=BE+DF.【参考答案】1 .证明：如图，在线段 DC上截取D&BD,连接AE ADLBC ./ADB：/ADE：90在ABDft zAED 中AD =ADADB = ADEDB =
8、 DE .ABDI AAED （SAS/ B=/ 1, AB=AE / B=2/ C / 1=2/C / 1是AAEC的一个外角 ./ 1=/ C+/2 C=/2AE=CE . CD=CEfED=AEfBD=ABfBD（如果延长DB到点F,使BF=AB,连接AF也可进行证明）2 .证明：如图，在线段 AB上截取AE=AC,连接PE.DC贝U AB ACAB AE=EB在 AAE% 口 zACP 中AE = AC3.T，/1 =/2AP = AP .AE匹 AACP (SAS . PE=PC在APEB中，PB PEEB . PB PEB .AB AOPB PC(延长AC到点F,使AF=AB,连接
9、PF,也可证明结论) 证明：如图，在BC上截取BE=BA连接PE.在ABPft zEBP 中BA = BE21 =22BP = BP .ABPl AEBP (SAS. / A=/ 3./A+/C=180 , / 3+/4=180/ 4=/ Cv PCL BC ./ PDE=/PD(=90在 APD即 APDC4 = CPDE =2PDC、PD = PD. .PD图 APDC (AASDE=DCBD=BEED=ABCD(过点P作PF，BA于F,也可进行证明)4.证明：如图，延长EB到点G使BGDF,连接AGAD 四边形ABCM正方形 .AB=AR / D=/ABC：/BA90 . /ABg/D=
10、90在ABGF 口 zADF 中AB = ADI2ABG =/ADFBG =DF.ABGi zADF (SAS/ 1=/2, / 5=/G. AF平分 / DAE / 1=/ 3 / 1+/ 5=90 / 3+/ G=90 / 1+/ 3+/ 4=90. /2+/ 3+/4=90. /2+/ 4=/ G . AE=EGv EG=B&BGAE=BEfDF三角形全等之截长补短（随堂测试）6.已知：如图，在四边形 ABCLfr, BOAB, AD=DC / C=60 , BD平分/ ABC 求证：BCABAD.【参考答案】1.证明略提示：在BC上截取BE=AB,证明AABDi EBQ再证明CE=AD
11、三角形全等之截长补短（作业）1.如图，在ABC, / BAG60 , / AB（=80 , AD是/ BAC的平分线. 求证：AOABBD.2.如图，AC 平分 / BAD CH AB 于 E, /B+/D=180 求证：AE=ADfBE.AAE3.如图，在ABC, /A=100 , /ABG40 , BD是/ABC的平分线,延长 BD至 E,使 DE=AR连接EC求证：BCABCEAE4.如图，在梯形ABCm，AD/ BG CH AB于E, BDCJ等腰直角三角形，/ BD(=90 , BD=CDCE与BD交于F,连接AF.求证：CF=ABAF.【参考答案】1 .证明略提示：方法一：在AC上截取AE=AB,连接D证明AABDlzXAEQ 再证明CEDE；方法二：延长 AB到E,使BE=BD,证明 ADE1AADC2 .证明略提示：在AE上截取AF=AR证明 CDA2 CFA再证明 BE=FE.3 .证明略提示：在BC上截取BF=BA连接DF,证明AABDl FBQ再证明 DF8 ADEC4 .截长法:证明：如图，在CF上截取CM=BA连接DM : BDC等腰直角三角形,BD=CDA DaM ./ 1=/ DC=45. CELAB, /BD9018 ./ CEB：/BD90:/2=/3/ 4=/ 5在ABDft AMCEDAB = MCI U4 =/
