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1、第4讲 垂直关系1若a，b表示两条不同的直线，表示平面，a，b，则a与b的关系为()Aab，且a与b相交Bab，且a与b不相交Cab Da与b不一定垂直解析：选C.因为b，所以在中必有一条直线c与b平行，因为a，所以ac，所以ab.2“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件3(2016南昌调研)已知两个不同的平面，和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中不正
2、确的是()A若mn，m，则nB若m，m，则C若m，mn，n，则D若m，n，则mn解析：选D.由线面平行、垂直之间的转化知A、B正确；对于C，因为m，mn，所以n，又n，所以，即C正确；对于D，m，n，则mn，或m与n是异面直线，故D项不正确4在如图所示的四个正方体中，能得出ABCD的是()解析：选A.A中，因为CD平面AMB，所以CDAB；B中，AB与CD成60角；C中，AB与CD成45角；D中，AB与CD夹角的正切值为.5设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若，a，b，则abB若a，b，且，则abC若a，ab，b，则D若ab，a，b，则解析：选C.若，a，b
3、，则直线a与b可能平行或异面，所以A错误；若a，b，且，则直线a与b可能平行或相交或异面，所以B错误；若a，ab，b，则，所以C正确；若ab，a，b，则与相交或平行，所以D错误故选C.6(2016九江模拟)如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：选C.因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面AC
4、D，所以平面ACD平面BDE.故选C.7.如图，在ABC中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面ABC，PC4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为_解析：作CHAB于H，连接PH.因为PC平面ABC，所以PHAB，PH为PM的最小值，等于2.答案：28(2016无锡质检)已知，是三个不同的平面，命题“且”是真命题，若把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个解析：若把，换为直线a，b，则命题转化为“ab且ab”，此命题为真命题；若把，换为直线a，b，则命题转化为“a且abb”，此命题为假命题；若把，换为直线a，b，则命题转化为“a且bab”，此命题为真
5、命题答案：29四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有_对解析：因为ADAB，ADPA且PAABA，可得AD平面PAB.同理可得BC平面PAB、AB平面PAD、CD平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD平面PAB，平面PBC平面PAB，平面PCD平面PAD，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD，共有5对答案：510已知a、b、l表示三条不同的直线，、表示三个不同的平面，有下列四个命题：若a，b，且ab，则；若a、b相交，且都在、外，a，a，b，b，则；若，a，b，ab，则b；若a，b，la，lb，l，则l.其中正确命
6、题的序号是_解析：若平面、两两相交于三条直线，则有交线平行，故不正确因为a、b相交，假设其确定的平面为，根据a，b，可得.同理可得，因此，正确由面面垂直的性质定理知正确当ab时，l垂直于平面内两条不相交直线，不能得出l，错误答案：11(2014高考课标全国卷)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高解：(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，故B
7、1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABCA1B1C1的高为.1.点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；A1P平面ACD1；DBBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号
8、是_解析：连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1BC1.所以BC1平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，所以三棱锥PAD1C的体积不变又VPAD1CVAD1PC，所以正确连接A1B，A1C1，因为平面A1C1B平面AD1C，A1P 平面A1C1B，所以A1P平面ACD1，正确由于DB不垂直于BC1，显然不正确；连接B1D，由于DB1D1C，DB1AD1，D1CAD1D1，所以DB1平面AD1C，DB1平面PDB1，所以平面PDB1平面ACD1，正确答案：2(2015高考北京卷)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且
9、ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC； (2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，
10、所以三棱锥VABC的体积为.3(2016青岛质检)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DBBC，DBAC，点M是棱BB1上一点(1)求证：B1D1平面A1BD；(2)求证：MDAC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D.解：(1)证明：由直四棱柱ABCDA1B1C1D1，得BB1DD1，BB1DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1BD.因为BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，所以B1D1平面A1BD.(2)证明：因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1AC.又因为BDAC，且BDBB1B，所以AC平面BB1D1D，因为MD平面BB1D1D，所以MDAC.(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1平面CC1D1D.证明如下：取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于点O，连接BN，OM，如图所示因为N是DC的中点，BDBC，所以BNDC.又因为DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，平面ABCD平面DCC1D1，所以BN平面DCC1D1.由题意可得O是NN1的中点，所以BMON且BMON，即四边形BMON是平行四边形所以BNOM.所以OM平面CC1D1D.因为OM平面DMC1，所以平面DMC1平面CC1D1D.
