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1、甘肃省兰州市2012届高三4月实战考试（兰州二诊）（数学文）数学（文科）（2012年4月12、13日）一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则（A） （B） （C） （D）2. 函数的反函数是（A） （B）（C） （D）3. 已知命题“：双曲线的离心率为”，命题“：双曲线为等轴双曲线”.则是的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件4. 在等比数列中，数列的前项和为，则（A） （B） （C） （D）5. 如图和都是边长为2的正三角形，且二面角的大小为，则的长为（A）
2、 （B）（C） （D）6. 在中，是中点，点在上且满足，则（A） （B） （C） （D）7. 从5名男学生、4名女学生中选3名学生组成一个研究性学习小组，要求其中男、女学生都有，则不同的选法有（A）70种 （B）80种 （C）100种 （D）140种8. 是圆上一点，是满足的平面区域内的点，则的最小值为（A） （B） （C） （D）9. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得函数，若函数的图象关于轴对称，则的最小值是（A） （B） （C） （D）10. 在球的表面上有三个点，且，的外接圆半径为2，那么这个球的表面积为（A） （B） （C） （D）11. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，的离心率为
3、，离心率为，为与的一个公共点，且满足，则的值为（A） （B） （C） （D）12. 已知奇函数在时，在上的值域为（A） （B） （C） （D）第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则 .14. 已知，则 .15. 地球北纬圈上有两点，点在东经处，点在西经处，若地球半径为，则两点的球面距离为 16. 设为抛物线的焦点，该抛物线在点处的切线与轴的交点为，则的外接圆的方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题10分）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，求数列的通项公式及前项和.1
4、8. （本小题12分）已知中，三个内角对应的三边长分别为，且有.（）求的值；（）求的最大值，并判断此时的形状.19. （本小题12分）将编号为1、2、3的三个小球放入编号为甲、乙、丙的三个盒子中，每盒放入一个小球，已知1号小球放入甲盒，2号小球放入乙盒，3号小球放入丙盒的概率分别为，记1号小球放入甲盒为事件A，2号小球放入乙盒为事件B，3号小球放入丙盒为事件C， 事件A、B、C相互独立.（）若，求事件A、B、C中至少有两件发生的概率；（）若事件A、B、C中恰有两件发生的概率不低于，求p的取值范围.20. （本小题12分）如图，四棱锥C-ABDE中，ABC为正三角形，AE平面ABC,BD平面AB
5、C,M为DC上一点，BD=BC=2AE=2 .（）求证：； （）当时，求二面角的正切值.21. （本小题12分）设函数的导数为，若函数的图象关于直线对称，且函数有最小值.（）求函数的极值；（）已知函数，若方程只有一个实数，求实数的取值范围.22. （本小题12分）已知经过点的双曲线的离心率为2.（）求双曲线的方程；（）是否存在经过的直线与双曲线有两个不同的交点，且线段的垂直平分线分别交轴，轴与点，使得四边形为菱形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.2012年高三实战考试数学参考答案与评分参考一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.理科（1）B （2）A （3）C （4）
6、D （5）C （6）B （7）A （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C文科（1）B （2）A （3）C （4）D （5）C （6）B （7）A （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）（理、文） （14） （15） （16）三、解答题：本大题共6小题，共70分.（17）理科解：() 3分显然 5分()由()知，故有， 6分 8分当且仅当，即时，取得最大值，此时为等腰三角形 10分文科解：设数列的公差为，首项为 3分又 6分由解得， 8分所以数列的通项公式为，前项和10分（18）理科解：（）事件、中至少有两
7、件发生的概率为 6分（）取的可能结果为0,1,2,3,则 10分数学期望=+ 12分文科解：() 3分显然 6分()由()知，故有， 8分 10分当且仅当，即时，取得最大值，此时为等腰三角形 12分（19）理科解法一（）证明：CAEDBMNG平面，平面 而平面 平面平面 5分（）平面 平面平面在平面中过点做，垂足为，则有平面， ，且过做于，连接则，所以为二面角的一个平面角 7分 在四边形中 四边形为矩形=为的中点，为的中点 10分 在中， 12分解法二依题意建立如图所示空间直角坐标系，则CAEDBMxyz，（） 而平面 平面平面 （）在上设，则有，解得： 依题意为平面的一个法向量，设为平面的一
8、个法向量，则有 即 令解得，显然，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为二面角的正切值为文科解：（）事件、中至少有两件发生的概率为 6分（）依题意有9分即 解得 11分所以的取值范围是 12分（20）理科解：()由得：，即 3分当时， 又时， 6分 ()假设存在最大的实数，当时，对一切都有成立，即有成立当时，对一切都有成立8分 10分当时，对一切都有成立，解得 可取，当时，对一切都有成立12分文科解法一（）证明：平面，平面 而平面 平面平面 5分CAEDBMNG（）平面 平面平面在平面中过点做，垂足为，则有平面， ，且过做于，连接则，所以为二面角的一个平面角 7分 在四边形中 四边形为矩形=为的中点，为的中点 10分 在中， 12分解法二CAEDBMxyz依题意建立如图所示空间直角坐标系，则，（） 而平面 平面平面 （）在上设，则有，解得： 依题意为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则有 即 令解得，显然，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为二面角的正切值为（21）理科解：（）依题意有：，且所以，双曲线的方程为 4分（）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线没有交点，故满足条件的直线不存在若直线的斜率为，则线段为轴平行；不满足条件，直线不存在若直线的斜率为，则直线与双曲线的渐近线平行，故满足条件的直线不存在 若直线的斜率
