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1、-抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例1.设是上的奇函数，当时，则等于 A0.5;B-0.5; C1.5; D-1.5.例2是定义在实数集上的函数，且，求的值. 。2、比较函数值大小例3.假设是以2为周期的偶函数，当时，试比较、的大小.3、求函数解析式例4.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间当时，求在上的解析式.例5设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.4、判断函数奇偶性例6.的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.5、确定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点
2、.6、在数列中的应用例8.在数列中，求数列的通项公式，并计算7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几.8、复数中的应用例10.市1994年高考题设，则满足等式且大于1的正整数中最小的是A 3 ； B4 ； C6 ； D7.9、解“立几题例11.ABCD是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停顿在正方体的*个顶点处，这时黑白蚁的距离是A1； B；C ； D0.例题与应用例1：f(*) 是R上的奇函数
3、f(*)= f(*+4) ，*0，2时f(*)=*，求f(2007) 的值例2：f(*)是定义在R上的函数，且满足f(*+2)1f(*)=1+f(*)，f(1)=2，求f(2021) 的值 。例3：f(*)是定义在R上的偶函数，f(*)= f(4-*)，且当时，f(*)=2*+1，则当时求f(*)的解析式例4：f(*)是定义在R上的函数，且满足f(*+999)=，f(999+*)=f(999*)， 试判断函数f(*)的奇偶性.例5：f(*)是定义在R上的偶函数，f(*)= f(4-*)，且当时，f(*)是减函数，求证当时f(*)为增函数例6：f(*)满足f(*) =-f(6-*)，f(*)=
4、f(2-*)，假设f(a) =-f(2000)，a5，9且f(*)在5，9上单调.求a的值. 例7：f(*)是定义在R上的函数，f(*)= f(4*)，f(7+*)= f(7*),f(0)=0，求在区间1000，1000上f(*)=0至少有几个根. 例8、 函数yf(*)是定义在实数集R上的函数，则yf(*4)与yf(6*)的图象之间A关于直线*5对称 B关于直线*1对称C关于点5，0对称 D关于点1，0对称例9、 设f(*)是定义在R上的偶函数，其图象关于*1对称，证明f(*)是周期函数。例10、 设f(*)是，上的奇函数，f(*2)f(*)，当0*1时f(*)*，则f(7.5)等于例11、
5、 设f(*)是定义在R上的函数，且满足f(10*)f(10*)，f(20*)f(20*)，则f(*)是A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数二、稳固练习1、函数yf(*)是定义在实数集R上的函数，则yf(*4)与yf(6*)的图象。A关于直线*5对称 B关于直线*1对称C关于点5，0对称 D关于点1，0对称2、设f(*)是，上的奇函数，f(*2)f(*)，当0*1时，f(*)*，则f(7.5)=。A0.5 B0.5 C1.5 D1.53、设f(*)是定义在，上的函数，且满足f(10*)f(10*)，f(20*)f(20*)，则f(*)是
6、。A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数4、f(*)是定义在R上的偶函数，图象关于*1对称，证明f(*)是周期函数。5、在数列求=抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数局部的难点,也是大学高等数学函数局部的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1
7、、周期函数的定义：对于定义域的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期的图像为C:。把个单位即按向量在其他周期的图像：。2、奇偶函数：设假设假设。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：1中心对称即点对称：点2轴对称：对称轴方程为：。关于直线函数关于直线成轴对称。关于直线成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论一函数图象本身的对称性自身对称假设，则具有周期性；假设，则具有对称性：“同表示周期性，反表示对称性。1、图象关于直线对称推论1：的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对
8、称推论3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象关于点对称二两个函数的图象对称性相互对称利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解1、偶函数与图象关于Y轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于*轴对称4、互为反函数与函数图象关于直线对称5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称三抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 假设函数yf(*)关于直线*a轴对称，则以下三个式子成立且等价：1f(a*)f(a*) 2f(2a*)f(*) 3f(2
9、a*)f(*)性质2 假设函数yf(*)关于点a，0中心对称，则以下三个式子成立且等价：1f(a*)f(a*)2f(2a*)f(*)3f(2a*)f(*)易知，yf(*)为偶或奇函数分别为性质1或2当a0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、 假设对于定义域的任一变量*，均有fg(*)fg(*)，则复数函数yfg(*)为偶函数。定义2、 假设对于定义域的任一变量*，均有fg(*)fg(*)，则复合函数yfg(*)为奇函数。说明：1复数函数fg(*)为偶函数，则fg(*)fg(*)而不是fg(*)fg(*)，复合函数yfg(*)为奇函数，则fg(*)fg(*)而不是fg(*)fg(*)。2两个特
10、例：yf(*a)为偶函数，则f(*a)f(*a)；yf(*a)为奇函数，则f(*a)f(a*)3yf(*a)为偶或奇函数，等价于单层函数yf(*)关于直线*a轴对称或关于点a，0中心对称3、复合函数的对称性性质3复合函数yf(a*)与yf(b*)关于直线*ba/2轴对称性质4、复合函数yf(a*)与yf(b*)关于点ba/2，0中心对称推论1、 复合函数yf(a*)与yf(a*)关于y轴轴对称推论2、 复合函数yf(a*)与yf(a*)关于原点中心对称4、函数的周期性假设a是非零常数，假设对于函数yf(*)定义域的任一变量*点有以下条件之一成立，则函数yf(*)是周期函数，且2|a|是它的一个
11、周期。f(*a)f(*a) f(*a)f(*)f(*a)1/f(*) f(*a)1/f(*)5、函数的对称性与周期性性质5 假设函数yf(*)同时关于直线*a与*b轴对称，则函数f(*)必为周期函数，且T2|ab|性质6、假设函数yf(*)同时关于点a，0与点b，0中心对称，则函数f(*)必为周期函数，且T2|ab|性质7、假设函数yf(*)既关于点a，0中心对称，又关于直线*b轴对称，则函数f(*)必为周期函数，且T4|ab| 6、函数对称性的应用 1假设,即 2例题 1、; 2、奇函数的图像关于原点0，0对称：。 3、假设的图像关于直线对称。设.四常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结
12、论1、( ) 的周期为，()也是函数的周期2、的周期为3、的周期为4、的周期为5、的周期为6、的周期为7、的周期为8、的周期为9、的周期为10、假设11、有两条对称轴和周期推论：偶函数满足周期12、有两个对称中心和周期推论：奇函数满足周期13、有一条对称轴和一个对称中心的四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答*些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。答案1.求函数值例1.1996年高考题设是上的奇函数，当时，则等于-0.5A0.5;B-0.5; C1.5; D-1.5.例21989年市中学生
13、数学竞赛题是定义在实数集上的函数，且，求的值.。2、比较函数值大小例3.假设是以2为周期的偶函数，当时，试比较、的大小.解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且，3、求函数解析式例4.1989年高考题设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间当时，求在上的解析式.解：设时，有是以2 为周期的函数，.例5设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.解：当，即，又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，4、判断函数奇偶性例6.的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.解：由的周期为4，得，由得，故为偶函数.5、确定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间上，故图象与轴至少有2个交点.而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.6、在数列中的应用例8.在数列中，求数列的通项公式，并计算分析：此题的思路与例2思路类似.解：令则不难用归纳法证明数列的通项为：，且以4为周期.于是有1，5，9 1997是以4为公差的等差
