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1、第一章 函数极限与连续一、教学目标与基本要求：1、理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值.会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像，掌握函数的表示方法. 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性. 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4、掌握基本初等函数的性质及其图形. 5、会建立简单应用问题中的函数关系式. 6、理解极限的概念，理解函数在极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系. 7、掌握极限的性质及四则运算法则. 8、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 9、理解无穷小、无穷大的
2、概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限. 10、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. 11、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质.二、教学内容的重点及难点：1数列的极限、函数的极限的概念2极限的性质及四则运算法则；3极限存在的两个准则，利用两个重要极限求极限；4无穷小的比较，用等价无穷小求极限；5闭区间上连续函数的性质.三、教学内容的深化和拓宽：1数列极限的的深刻背景，函数极限的几何意义；2两个重要极限、等价无穷小的应用；3极限与无穷小的关系；4连续的实质，闭区间上连续
3、函数的性质，用介值定理推证一些简单命题.1.1 函 数一、内容要点基本概念集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值.函数的概念函数的特性:有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数,复合函数,基本初等函数与初等函数二、教学要求和注意点本部分属基本概念，对其中的每一个定义都应加以仔细推敲，透彻理解和牢固其精神实质，从而为学习本课程奠定好基础.从实际问题建立变量之间的关系是数学应用与实际问题的第一步，也是比较困难的一步，要注意这方面的训练，以便逐步培养分析问题解决问题的能力.一、 集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体.通常用大写字母A、B、C等来表示，组成集合的各个事
4、物称为该集合的元素.若事物a是集合M的一个元素，就记aM（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记aM或aM（读a不属于M）；集合有时也简称为集.注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集.2：集合的表示方法： 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R.以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集. 4：集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有，必有，就称A为B的子集，记为,或(读B包含A). 显然：. 若,同时,就称A、B相等,记为A=B. 5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：1,2,2,3
5、=1,2,3. 6：不含任何元素的集称为空集,记为,如：=,=,空集是任何集合的子集,即. 7：区间：所有大于a、小于b的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即(a,b)= . 同理：a,b=为闭区间，和分别称为左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间.以上均成为有限区间，a、b分别称为左、右端点.对无穷区间有：，在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用I表示. 8：邻域：设a和为两个实数，且0.集合称为点a的邻域，记为,a为该邻域的中心，为该邻域的半径，事实上，.同理：我们称为a的去心邻域，或a的空心邻域. 9：集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了.
6、2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量.【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量.注1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一. 2：常量一般用a,b,c等字母表示，变量用x,y,u,t等字母表示，常量a为一定
7、值，在数轴上可用定点表示，变量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：表示可代表中的任一个数.二、 函数的概念【例】正方形的边长与面积之间的关系为：，显然当确定了，也就确定了.这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系.它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着.定义：设和为两个变量，为一个给定的数集，如果对每一个，按照一定的法则变量总有确定的数值与之对应，就称为的函数，记为.数集称为该函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量. 当取数值时，依法则的对应值称为函数在时的函数值.所有函数值组成的集合称为函数的值域.注 1：函数通常还可用等表示. 2：约定：函数的定义域就是自变量所
8、能取的，使算式有意义的一切实数值的全体.【例1】 的定义域为，值域为.【例2】 的定义域为，值域为.【例3】 的定义域为，值域为.【例4】 的定义域为，的定义域为，从而显然. 3、若对每一个，只有唯一的一个与之对应，就称函数为单值函数；若有不止一个与之对应，就称为多值函数.如：等.以后若不特别声明，只讨论单值函数. 4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法.其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量在上取值，其函数值为；当取0时，；当在上取值时，其函数值为.（这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同的算式，但它们
9、合起来只表示一个函数！ 5、对中任一固定的，依照法则有一个数与之对应，以为横坐标，为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点.当取遍中的每一数时，便得到一个点集，我们称之为函数的图形.换言之，当在中变动时，点的轨迹就是的图形.【例5】 书上的几个例子.（同学们自己看）【例6】 例3的图形如下图 三、 函数的几种特性1、 函数的有界性：设在上有定义，若对，使得：，就称在上有界，否则称为无界.注：1、若对，使得，就称在上有上(下)界.在上有界在上同时有上界和下界.2、在上无界也可这样说：对，总，使得.【例7】 上段例1、3、4中的函数是有界的；例2中的函数是无界的，但有下界.2、函数的单调性：设函数在区间
10、上有定义，若对，当时总有：（1），就称在上单调递增，特别当严格不等式成立时，就称在上严格单调递增.（2），就称在上单调递减，特别当严格不等式成立时，就称在上严格单调递减.注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！2、 2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数.3、 3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样.【例8】 符号函数和取整函数均为单增函数，但不严格单调.【例9】 在上是严格单减函数.【例10】 例3中的函数在定义域上不是单调的，但在上是严格单减的，在上是严格单增的.3、函数的奇偶性：设函数的定义域为对称于原点的数集，即若，有，(1) 若对，有恒成立，就称为偶函数.(2) 若对
11、，有恒成立，就称为奇函数.【例11】 ，,是偶函数，是奇函数. ，是非奇非偶函数.【例11】 是奇函数.注：1、偶函数的图形是关于轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的.2、若是奇函数，且，则必有.3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数.4、周期性：设函数的定义域为，如果，使得对，有，且恒成立，就称为周期函数，称为的周期.【例12】 分别为周期为的周期函数，为周期为1的函数.注1：若为的周期，由定义知也都是的周期，故周期函数有无穷多个周期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（为什么？）例如：，
12、设有最小正周期. 2：周期函数在一每个周期（为任意数，为任意常数）上，有相同的形状.四、 反函数 设的定义域为，值域为，因此，对，必，使得，这样的可能不止一个，若将当作自变量，当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数，称之为函数的反函数，而叫做直接函数.注1：反函数的定义域为，值域为； 2：由上讨论知，即使为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作研究； 3：在习惯上往往用表示自变量，表示因变量，因此将中的与对换一下，的反函数就变成，事实上函数与是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系.所以说：若的反函数为，那么也是的反函数，且后者较
13、常用； 4：反函数的图形与直接函数的图形是对称于（证明很简单，大家自己看书）； 5：有些书上，对反函数的定义与此不同，希加与之区别.【例13】 函数的反函数分别为：或分别为.五 初等函数幂函数形如（为常数）的函数叫做幂函数.其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论：（1） 当为非负整数时，定义域为；（2） 当为负整数时，定义域为；（3） 当为其它有理数时，要视情况而定.【例1】 的定义域为； 的定义域为； 的定义域为.（4） 当为无理数时，规定其定义域为，其图形也很复杂，但不论取何值，图形总过（1，1）点，当0时，还过（0，0）点.指数函数与对数函数1、指数函数：形如的函数称为指数函数，其定义域为
14、，其图形总在轴上方，且过（0，1）点，（1）当时，是单调增加的；（2）当时，是单调减少的；以后我们经常遇到这样一个指数函数的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，与关于轴对称.2、对数函数：指数函数的反函数，记为为常数，,称为对数函数，其定义域为，由前面反函数的概念知：的图形和的图形是关于对称的，从此，不难得的图形，的图形总在轴右方，且过（1，0）点（1） 当时，单调递增，且在（0，1）为负，上为正；（2） 当1时，单调递减，且在（0，1）为正， 上为负；特别当取时，函数记为，称为自然对数函数.三角函数与反三角函数1、 三角函数三角函数主要是：正弦函数：余弦函数：正切函数：余切函数：正弦函
15、数和余弦函数均为周期为的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为的周期函数.正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割和余割，其图形在此不做讨论了.2、 反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：反正弦函数：反余弦函数：反正切函数：反余切函数：显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：将限制在上，得一单值函数，记为，它就是所取主值函数，叫做主值区间，显然，同理：将限制在上，得将限制在上，得将限制在上，得从图中不难看出和是单调递增的，和是单调递减的.复合函数和初等函数1、 复合函数设，定义域为，定义域为，值域为，且，这样对于，由可算出函数值，所以，由又可算出其函数值，因此对于
