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1、知识点第一章随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算.1.*事件的关系及运算AB(或BA).(2)和事件：AB；A1A2积事件：AB,A1A2nUA简记为i1nAAAAnAAn简记为AA2An或i1)(4)互不相容：假设事件A和B不能同时发生，即AB(5)对立事件：A.(6)差事件：假设事件A发生且事件B不发生，记作AB(或AB)(7)德,摩根DeMorgan法则：对任意事件A和B有ABABABAB,2.*古典概率的定义古典概型：A中所含样本点的个数P(A)中所含样本点的个数几何概率A的长度(或面积、体积)nAnP(A)样本空间的的长度(或面积、体积)3.*概率的性质P()0.(2)(有限可
2、加性)设n个事件人两两互不相容，则有nP(AA2An)P(A)i1P(A)1P(A)(3)(4)假设事件A,B满足AB，则有P(BA)P(B)P(A),P(A)P(B)(5) P(A)1.P(B) P(AB)(6)(加法公式)对于任意两个事件A,B,有P(AB)P(A)_n 1 _P(AAjA)(1) P(A An) k n对于彳E意n个事件A,A2,，An,有nnP(UAi)P(Ai)P(AAj)1 1i11ijn1ijP(AB)P(B)4. *条件概率与乘法公式P(A|B)乘法公式：P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A|B)5. *随机事件的相互独立性事件A与B相互独立的充分必要条
3、件一：P(AB)P(A)P(B)事件A与B相互独立的充分必要条件二:P(A|B)P(A)k2,，n，任意的对于任意n个事件NU相互独立性定义如下：对任意一个1 i1ik n，假设事件AA,，An总满足P(A - Aik) P(AJP(Aik)则称事件A1,，An相互独立.这里实际上包含了2n 1个等式.6. *贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件A发生的概率P(A)P(0 p 1)则在n次重复独立试验中.，事件A恰发生k次的概率为nPn(k)kpk(1 p)nk,k0,1，n7.*全概率公式与贝叶斯公式贝叶斯公式:如果事件A1,A2,An两两互不相容，且nUai 1P(A) 0 i1,
4、2,，n,则P(Ak |B)P(Ak)P(B|Ak)nP(A)P(B|A)i 1,k 1,2,，n第二章一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布.1. *离散型随机变量及其分布律PiP(Xa)i1,2,n,.分布律也可用以下表格形式表示：Xa1a2anPrp1p2pn2. *概率函数的性质pi0,i1,2,，n,；Pi1(2) i1.3. *常用离散型随机变量的分布(1) 0-1分布B(1,P),它的概率函数为i1iP(Xi)p(1p)其中，i0或1,0p1.(2)二项分布B(n,p),它的概率函数
5、为nP(Xi),pi(1p)nii苴中i0,1,2，n0p1(4)*泊松分布P(),它的概率函数为P(Xi)ei!苴中i0,1,2,，n,0.4.*二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量(X,Y)的分布可用以下联合概率函数来表示:P(Xai,Ybj)pij,i,j1,2,，Pj0,i,j1,2，pij1苴中ij5. *二维离散型随机变量的边缘概率设(X,Y)为二维离散型随机变量，Pij为其联合概率i,j1,2,，称概率P(Xai)(i32/,为随机变量X的边缘分布律，记为Pi,并有p. P(X ai)Rj,i1,2，j5称概率P(Y bj)(j1,2，)为随机变量Y的边缘分布率，记为p
6、.j ,并有p.j_P(Y bj)Pij, j1,2，6. 随机变量的相互独立性设(X,Y)为二维离散型随机变量,X与Y相互独立的充分必要条件为pij p，j,对一切i,j 1,2，.多维随机变量的相互独立性可类似定义.即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论.7. *随机变量函数的分布设X是一个随机变量，g(x)是一个已知函数，Yg(X)是随机变量X的函数，它也是一个随机变量.对离散型随机变量X,下面来求这个新的随机变量Y的分布.设离散型随机变量X的概率函数为Xa1a2anPrp1p2pn则随机变量函数Yg(X)的概率函数可由下表求得Yg(X)g(a1)g(a2)g(an)Prp1p2
7、,pn但要注意，假设g(ai)的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率pi相加.第三章连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算，边缘分布和独立性计算.1 .*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，F(x)P(Xx)2 .分布函数F(x)的性质(1) 0F(x)1；limF(x)0,limF(x)1(2) xx；X的分布函数F(x)，可算得X落在任意区间(a,b内的概率P(ab)F(b)F(a)3联合分布函数二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)P(Xx,Yx)4联合分布函数的性质(1) 0F(x,y)1；limF(x,y)0,l
8、imF(x,y)0x(2) y，limF(x,y)0,limF(x,y)1xxyyP(x1Xx2,y1Yy2)F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)F(x1,y1)(3) 5 *连续型随机变量及其概率密度设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在一个非负函数f(x)，使得对于任一实数x,有F(x)f(x)dx成立，则称X为连续型随机变量，函数f(x)称为连续型随机变量X的概率密度.6 *概率密度f(x)及连续型随机变量的性质1f(x)0；f(x)dx1F(x)f(x)4设X为连续型随机变量，则对任意一个实数c,P(Xc)0(5)设f(x)是连续型随机变量X的概率密度，则有P(aXb)
9、P(aXb)P(aXb)P(aXb)bf(x)dxa7. *常用的连续型随机变量的分布均匀分布R(a,b),它的概率密度为f(x) b a0,a x b;其余.其中,(2)指数分布E( ) ,它的概率密度为xf(x) e0,x 0;其余.其中,正态分布N( , 2)它的概率密度为f(x)(x )2 e 2 2其中,0，当0,1时，称N (0,1)为标准正态分布，它的概率密度为f(x)1 2=eX22标准正态分布的分布函数记作(x)xLedt.2当出x0时,（x）可查表得到；当X0时,（x）可由下面性质得到x)1(x)设X-N(F(x)(JP(aXb)(b(J二维连续型随机变量及联合概率密度的性
10、质8. 二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量（X,Y）的分布函数F(x,y)如果存在一个二元非负函数f（x，y）,使得对于任意一对实数（x,y）有成立，则F(x,y)（X，Y）为二维连续型随机变量,f(s,t)dtdsf（x，y）为二维连续型随机变量的联合概率密度.(2)f(x,y)0,x,yf(x,y)dxdy1；在f（x,y）的连续点处有f(x,y)xy(4)设（X，Y）为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D有P(X,Y)D)f(x,y)dxdy10,*二维连续型随机变量（X，Y）的边缘概率密度设f（x，y）为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X的边缘概率密度为fx(X)
11、f(x, y)dyY的边缘概率密度为fY(y)f(X,y)dx11 .常用的二维连续型随机变量（1）均匀分布如果（X,Y）在二维平面上某个区域G上服从均匀分布，则它的联合概率密度为f(x, y)1G的面积0,(x,y) G；其余.（2）二维正态分布N（1,2,1,如果（X,Y）的联合概率密度一 、1f (x,y)2 exp21 2 1 2(12)(x1)22 1(x 1)( y 2)(x 1)221则称（X,Y）服从二维正态分布，并记为(X,Y)N(如果（X,Y）N（12, I,)，则 XN( 1,12)YN(2,态分布的边缘分布还是正态分布.12 .*随机变量的相互独立性F(x,y)Fx(x
12、)FY(y),对一切x,y那么，称随机变量x与Y相互独立.设(X，Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件为f(x,y)fx(x)fY(y),在一切连续点上如果(X，Y)N(22)1,2,1,2,).那么，x与Y相互独立的充分必要条件是第四章随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。方差的计算.1. *数学期望设x是离散型的随机变量，其概率函数为P(Xai)Pi,i1,2,则定义X的数学期望为E(X)aiPii.设x为连续型随机变量，其概率密度为f (x),则定义X的数学期望为E(X)xf(x)dx2. *随机变量函数的数学期望设X为离散型随机变量，其概率函数P(Xai)Pi,i1,2,则X的函数g(X)的数学期望为Eg(X)g(ai)Pi设(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合概率函数P(Xa/bj)pj,i,j1,2,则好的函数g(X，Y)的数学期望为Eg(X,Y)g(ai,bj)Pjji.3. *数学期望的性质(1) E(c)c(其中c为常数)；(2) E(kXb)kE(X)b(k，b为常数)；(3) E(XY)E(X)E(Y).(4)如果X与相互独立，则E(XY)E
