《概率论与数理统计课程第二章练习题及解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计课程第二章练习题及解答（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、概率论与数理统计课程第二章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中 对的打“”错的打“” ） 1、连续型随机变量X的概率密度函数也一定是连续函数 （）2、随机变量X是定义在样本空间S上的实值单值函数 （）3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量 （）4、离散型随机变量X的分布律就是X的取值和X取值的概率 （）5、随机变量X的分布函数表示随机变量X取值不超过x的累积概率（）6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的 （）7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类 （）8、若成立，则相互独立 （）9、若相互独立，则必有 （）二、单选题1、设是随机变量，且，则（ A ）AB.
2、C. D. 2、设随机变量，其分布函数为，则随机变量的分布函数为（ D ）A、B、C、D、3、设随机变量的密度函数为，且，是的分布函数，则对任意实数，有（ B ）A、B、C、 D、分析 ，选B4、设与分别为随机变量与的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A、 B、C、 D、分析 根据分布函数的性质，即在给的四个选项中只有A满足，选A5、设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（ D ）A、必为某一随机变量的概率密度B、必为某一随机变量的概率密度C、必为某一随机变量的分布密度 D、必为某一随机变量的分布密度分析
3、首先可否定选项A与C，因为对于选项B，若，则对任何 ，也应否定C。选D进一步分析可知，若令，而，则的分布函数恰是，因为6、设随机变量与均服从正态分布，记，则（ A ）A、对任何实数都有 B、对任何实数都有C、只有的个别值，才有 D、对任何实数都有分析 因此，对任何实数都有。选A7、设随机变量服从正态分布，则随的增大，概率（ C ）A、单调增大 B、单调减少 C、保持不变 D、增减不定分析 由于，故， 计算看出概率的值与的大小无关。选C8、设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足。若，则等于（ C ）A、 B、 C、 D、分析 由于，故对任何正数，有，若，则因，必有且由此可见。选C9、假设随机变
4、量服从指数分布，则随机变量的分布函数（ D ）A、是连续函数 B、至少有两个间断点 C、是阶梯函数 D、恰好有一个间断点分析 设的分布函数为，的概率密度函数为由于，因此因为，所以的分布函数为恰好有一个间断点。选D三、填空题1、在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为5/92、设随机变量的分布函数为，则的概率分布为（ ）分析 在的分布函数的各间断点处，有则 ，因此的概率分布为-1130.40.40.23、设随机变量概率密度为，若使得，则的取值范围是（ ）分析 当时，当时，当时，故的取值范围是。4、设随机变量概率密度为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，则（
5、）分析 由于，故，于是5、设随机变量服从参数为的二项分布，设随机变量服从参数为的二项分布，若，则（ ）分析 因为，又 解方程，得，因此6、离散型随机变量是从（取值）角度定义的，连续型随机变量是从（概率）角度定义的。四、计算题1、（1）一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律（2）将骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数。求X的分布律。解：(1) X的可能取值为3，4，5;X的分布律为X3 4 5P ，。(2)设分别表示第一、二次掷出的点数，样本空间为 ，的可能取值为1，2，3，4，5，6。X的分布律为 。事件发
6、生，当且仅当且共有6-k种情况；且共有6-k种情况；且仅一种情况，之一发生，因此事件包含6-k+6-k+1个样本点。2、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻，（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？解：以X表示同一时刻被使用的设备个数，则b(5,0.1)，（1）（2）（3）（4）3、甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，今各投三次。求（1）二人投中次数相等的概率。（2）甲比乙投中次数多的概率。解：设X，Y分别表示
7、甲、乙投中的次数，则 Xb(3,0.6)，Yb(3,0.7)（1）4、某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数为X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时为记）。（1）求某天中午12时至下午3时未收到紧急呼救的概率。（2）求某天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。解：由题知，X，且，（1），所求概率为；（2），所求概率为。5、在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落在0，a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。试求X的分布函数。解：X的分布函数为 ，（1）当 时，； 由题知 是常数，为了确定，取 ，得，因此
8、， （2）当 时，； （3）当 时，；于是 。6、以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是求下述概率：（1）P至多3分钟；（2）P 至少4分钟；（3）P3分钟至4分钟之间；（4）P至多3分钟或至少4分钟；（5）P恰好2.5分钟。解：（1）P至多3分钟=；（2）P 至少4分钟=；（3）P3分钟至4分钟之间=；（4）P至多3分钟或至少4分钟=；（5）P恰好2.5分钟=。7、设随机变量的概率密度为（1）（2）求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。解：（1）X的分布函数为（2）X的分布函数为8、设K在（0，5）上服从均匀分布，
9、求方程有实根的概率.解：方程有实根，即有 ，解得 ，由题知，KU(0，5),且 ,方程有实根的概率为.9、设XN（3，22）（1）求P 2X5，P 42，P X3（2）决定c使得P X c =P X c 。（3）设d满足P X d 0.9，问d至少为多少？解：因为XN（3，22）（1）；。（2）由，得，即有，于是 。（3）由，有因为概率分布函数是单调不减函数，所以，因此，。10、由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为=10.05，=0.06的正态分布。规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？解：由题知，XN（10.05，0.062）, 螺栓不合格的概率为11
10、、设随机变量X的分布律为： X-2 -1 0 1 3 P1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X 2的分布律。解：Y=X 2的分布律为Y0 1 4 9 P1/5 7/30 1/5 11/3012、设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布（1）求Y=eX的概率密度；（2）求Y=2lnX的概率密度。解：X的概率密度为 ，（1）求Y=eX的概率密度，因为 ，又 所以 。（2）求Y=2lnX的概率密度，因为所以13、设X的概率密度为求Y=sin X的概率密度。解：因为这里所以 。五、证明题1、设随机变量的密度函数为，且，是的分布函数，证明对任意实数， 有证明：因为又 ，且由于所以，因此。2、设随机变量与均服从正态分布，记，证明对任何实数都有。证明：因为因此，对任何实数都有。
