《23 内积空间与希尔伯特空间》由会员分享，可在线阅读，更多相关《23 内积空间与希尔伯特空间（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 内积空间与希尔伯特空间通过前面的学习，知道n维欧氏空间就是n维线性赋范空间的“模型”范数相当于向量 的模，表明了线性赋范空间的代数结构对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两 个向量有夹角，例如6为向量a和0的夹角时有：cosG二告专或者卩=妝|卩|cos9，其中a-p表示两个向量的数量积(或点积或内积)，|a|表示向量的模.于是便有了直交性、直交投影以及向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构”通过在线性空间上定义内积，可得到 内积空间，由内积可导出范数，若完备则为Hilbert空间.2.3.1 内积空间定义11设U是数域K上的线性空间，若存在映射(-,-):UxU TK
2、，使得Vx, y,z e U，a eK ，(1)它满足以下内积公理：(x, x) 0 ;(x, x) = 0 0 x = 0 ;正定性(或非负性)(2)(x, y) = (y, x);共轭对称性(3)(ax+0z,y)=a(x,y)+0(z,y)，线性性则称在U上定义了内积(-,-)，称(x,y)为x与y的内积，U为K上的内积空间(Inner product spaces).当K = R时，称U为实内积空间；当K = C时，称U为复内积空间称有限维的实内 积空间为欧几里德(Euclid spaces)空间，即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉(Unitary spaces)空间.注 1:关于
3、复数：设z = a + bi e C，那么 |Z = a2 + b2 = |ozl; z = r(cos9 + isin6)其中 6 为辐 射角、r = IZ ； z-z = lzI2; z = z ;对于z ,z eC，有z -z = z -z .1 2 12 12 注2：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性注3：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的因为(x,ay) = (ay,x) =a(y,x) =a -(y,x) =a(x, y)，所以有(x,ay + 0z) =a(x,y) + 0(x,z)，即对于第二变元是共轭线性的.在实内积空间中，
4、第三条内积公理为第一变元、第二变元均为 线性的.在 n 维欧氏空间 Rn 中，Va, 0e Rn，有 a-0=|a|0 |cos 6，即 |a - 0| = |a| 0|cos6|w|a| pl.下 面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立.如果在内积空间上定义范数IX=(x,x)2,其 中XeU，通过Schwarz不等式可证明U为线性赋范空间，即需验证|卜(，)；满足范数公理引理 1.1 Schwarz 不等式设 U 为内积空间，Vx,y e U 有 |(x, y) 0即0 (x + Xy, x + Xy) = (x, x) + X (x, y) + 九(y, x) + 九九(y, y)=
5、(x, x) + X (x, y) + X( y, y) + X( y, x)令X=S，则有0 (x, x)-山龙，即(y, y)(y, y)1(x, y)l2 (x, x)(y, y) = |x|2 |y|2，因此 |(x, y) |x|.|y| 口讨论什么条件下？ Schwarz不等式中的|(x, y)1 |x|y|成立.验证|.|= ( , )；满足范数公理(1)正定性和(2)齐次性容验证；(3)三角不等式：Vx,y e U有llx + y| I2 = 1( x + y, x + y) = |( x, x + y) + (y, x + y)| 1( x, x + y )| + |( y,
6、 x + y )1 I|x|!|x + y|+|y| |x + y| =(M +|y| |)| |x + y|故 llx + y| 0，使得|y |5 M ,那n0nn1( x , y ) - (x , y )1 = 1( x , y ) - (x , y ) + (x , y ) - (x , y )1n n00n n0 n0 n005 1(x , y ) - (x , y )| +1(x , y ) - (x , y )|n n0 n0 n00)1 +1( x , y - y )1n05 I |x- x y +1 |x y - y |0 n0ly5 I|x - x |m + |x UH0
7、0因此二元函数F(x, y) = (x, y)是连续函数.口2.3.2 希尔伯特空间定义1.2设U是数域K上的内积空间，如果U按内积导出的范数|x| = (x, x)2成为Banach 空间，就称U为Hilbert空间，简记为H空间.注4:因为内积(x,y)可导出范数|x| = (x,x)；，范数|x|可导出距离d(x,y) = |x- y|，所以有内积空间T线性赋范空间T度量空间.其中称完备的线性赋范空间为Banach空间，完备的内积空间为Hilbert空间.下面给出一些Hilbert空间的例子.1、实内积空间Rn是Hilbert空间.对于x = (x , x ,L , x ), y = (
8、y , y ,L , y ) g Rn， n维欧式空间Rn上的标准内积定义为12n12n( x, y) = x y + x y + L + x y1 122n n导出的范数为|x| =(乞x2)2，距离为d(x, y)=(乞|x - y |2)； .口ii ii =1 ii =12、复内积空间Cn是Hilbert空间.对于x = (x ,x ,L ,x ), y = (y ,y ,L ,y ) g Cn， n维酉空间Cn上的内积定义为12n12n(x, y) = x y + x y +L + x y1122n n导出的范数为|x| =(乞|x |2)2，距离为d(x,y)=(乞|x - y |
9、2)2 .口ii ii=1i=13、复内积空间12是Hilbert空间.l2 =x|x=(x ,x ,L ), 区lx I2 +8, x e C， Vx, y e 12，定义内积为12iii=1由 Cauchy 不等式知 |( x, y)=艺 x y (艺 |x I2 )2(另 |y |:8 (x, y) = x y + x y +L = x y1122i ii=1|2)2 +8 ， 内积导出的范数为i ii =1iii=1i=1|x| =(艺lx |2)2，距离为d(x,y)=(艺|x -y |2)2 口ii ii =1i =14、复内积空间 L2a,b 是 Hilbert 空间L2a, b
10、 = (t): a, b T Cl (L) fI x(t) I2 dt +g, Vx, y e L2a, b定义内积为a,b(x, y) = (L) fx(t) y(t)dta,b由荷尔德(Holder)公式知f|x(t)|y(t)|dt (f|x(t)|2 dt)2(f|y(t)|2 dt) 2 +8a,b1(x, y) = |fx(t) y (t)dt a,ba,ba,ba,b内积导出的范数为 |x| = (fx(t)|2 dt)2，距离为 d(x, y) = (f x(t)- y(t)l2 dt)2 a,ba,b2.3.3 内积空间与线性赋范空间的关系对于一个内积空间而言，内积可诱导一个
11、范数，即它也是一个线性赋范空间，那么内积空间中的内积与它作为线性赋范空间的范数的关系如何？定理1.1 极化恒等式 内积空间中的内积与范数的关系式(1)在实内积空间中(x, y) = 4(|x + y|2 - |x一 y|2).在复内积空间中(x, y) = 4(|x + y|2 -1|x - y|2 + i |x + iy|2 - i |x - iy |2).证明(1)由于在实内积空间中范数|x| = (x,x)2，所以llx + y|I2 |x - y|I2 = (x + y,x + y) - (x - y,x - y)=(X, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) -
12、 (x, x) - (x, y) - (y, x) + (y, y) =2( x, y) + 2( y, x)= 4( x, y ) 同理可证(2)复内积空间中的极化恒等式成立.口注5：从上证明过程可知，对于任何内积空间有I lx + y| I2 - I |x y|2 = 4Re(x, y);对应的另一个结果可从下面的证明过程获得：Ilx + y|2 + |x y|2 = 2 |x|2 + 2|y112.由于内积可诱导出范数，所以一个内积空间可自然而然的看成一个线性赋范空间，然而一个线性赋范空间的范数却未必可由它的某个内积导出，什么情况下成立呢？定理 1.2 内积空间的特征性质线性赋范空间X成
13、为内积空间oVx, y e X，范数满足平行四边形公式Ilx + y|2 + |x-y|2 = 2|x|b + 21 ylb 证明 必要性n因为|x| = (x, x)1，所以Ilx + y| |2 + I |x y| |2 = (x + y, x + y) + (x y, x y)=(x,x+ y)+(y,x+y)+(x,xy)(y,xy)=(x,x+ y)+(y,x+y)+(x,xy)(y,xy)= (x,2x)+(y,2 y)= 2(x,x)+2(y, y)=2| Wl 2 + 21 yl |2充分性u首先定义内积，当X是实内积空间时，定义(x, y)=4dl x+yl |2 丄加;当 X 是复内积空间时，定义(x, y) = 4(1 x + y 112 |x y 112 + i|x + iy 112 i |x iy |2)下面仅验证实内积空间定义的内积满足正定性、共轭对称性及线性性，对于X是复内积空间时同理可证(练习)由于(x，x)=抄+ JI2 -1lx-)=皿，显然内积公理中的正定性成立；根据(x, y) = 4(1 x + y|2 |x y|2) = 4(|y + x|2 |y x|2) = (y,x)
