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1、函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数,如果存在非零常数,使得对任意均有 ，则函数为周期函数，T为的一种周期；2. 周期函数的其他形式 ; ； ; ； ， ，3. 函数图像的对称性1）.若,则的图像有关直线 对称；2).若,则的图像有关点 对称;）若，则的图像有关直线 对称;）若，则的图像有关直线 对称；)若，则的图像有关点 对称；6)若，则的图像有关点 对称；4. 常用函数的对称性）函数的图像有关点 对称；2)函数的图像有关直线 对称;3)函数的图像有关直线 对称;【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性1. 函数的图像有关 对称；2. 函数的定义域为R,且，则的
2、图像有关 对称；3. 函数的图像有关 对称；4. 函数的图像有关直线 对称；有关点 对称；题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数是偶函数,在递减,则( ） 2.已知是偶函数，则的图像有关 对称;3.已知是奇函数，则的图像有关 对称;题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.已知的图像有关直线对称，且时,求时,的解析式;2.已知的图像有关点对称,且时,求时,的解析式;3.已知的图像有关点对称,且时，,求时,的解析式;题型四函数周期性和图像对称的应用1.若函数的图像有关点对称，求满足的关系;2.已知函数的定义域为，且对任意,均有(1)若有个根,求所有这些根的和;（2)若有个根，求所有这些根
3、的和;若有两条对称轴和,求证:是觉得周期的周期函数;.设是定义在上的偶函数,它的图像有关直线对称，当时，,求时，的解析式;5.已知定义域为的函数满足,求证函数是周期函数;题型五 综合应用设是定义在区间上以2为周期的函数,对于，用表达区间，已知当时，(1）求在上的解析式;(2)对自然数k,求集合使方程在上有两个不等实根。2已知定义在上的函数的图象有关直线对称，当时,函数。(1）求的值;（2）求的函数体现式;(3)如果有关的方程有解，那么将方程在取某一拟定值时所求得所有解的和记为,求的所有也许取值及相相应的的取值范畴。3已知函数（）求证：函数的图像有关点对称; (2）计算:的值。函数的对称性与周期
4、性课后练习1.定义在R上的函数单调递增,如果的值A.恒不不小于0恒不小于0C也许为D可正可负2.已知函数满足:是偶函数；在上为增函数. 若则与的大小关系是 . C.= 与的大小关系不能拟定3.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时,那使成立的的集合为B. C D.已知函数f(x)满足:f(1),4f(x)f(y)=f(x+)f(xy)（x，yR)，则（210)_.若满足2x+5, 满足2x+(x1)=5, ( )A. B3 . D.46.设指数函数与对数函数的图象分别为、C,点M在曲线C上，线段OM（O为坐标原点）交曲线C1于另一点若曲线C2上存在一点，使点P的横坐标与点M的纵坐标相等,点P的纵
5、坐标是点N的横坐标的2倍，则点的坐标是A(4，） B C. D7（1）,则函数图像有关 对称；（2)，则函数图像有关 对称；（)若，则函数图像有关 对称.(）函数是奇函数，则函数图像有关 对称;（2）函数是奇函数，则函数图像有关 对称9.定义在上的函数满足,，且当时，,则_.0.若,则的周期性是： .（）定义域是的奇函数又是周期为周期函数,则 , （2)已知是定义在上的奇函数，且满足,则_;（3)若和都是定义域是的奇函数,则 .12定义域是的奇函数图像有关直线对称,当时，则当时，函数零点个数是 . 1已知是R上的偶函数，是R上的奇函数,且,若，则 1（）已知是定义域为的偶函数,且，当时，则 (
6、2）设定义在上的函数满足,若,则 15.已知是以为周期的偶函数，当时,那么在区间 内,有关的方程有5个不同的根，则实数的取值范畴是 .设是定义在R上的偶函数,对任意,均有，且当-2,时,，若在区间(2，6内有关x的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范畴为A.(1,2） .（,）C(1，)D.（，2)函数和的零点分别是,求证.答案4.已知函数f(x)满足:f(1)，4f(x）f（y)=f(+）+f(x-y)(x，yR)，则f(201)_解析：f(），令1得(x)f(x1)+f(x1),即(1)f(x)f(x-1),f(x+)=f(x）-f(x），由得f(2)=-(x-1)，即f（+3)f(），则f(x+6)=(x).该函数周期为6.(2 01)=(633+0)=f（).令，y0得4f()f(0)=f(1)+()，(0)=.f(2 10）=答案:.若满足x+=5, 满足2x2(-1）5， +A B. .4解析：由题意 因此, 即 令2x17-2t，代入上式得72t=og2(2t2)2lg2(t-1） 52t2log2(t）与式比较得t=x2 于是2=72x2【答案】CD.
