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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(65)图象法一、内容提要1. 在第45讲（一元二次方程）中，根据根的判别式和根与系数的关系，介绍了存在实数根，有理数根，整数根的充分必要条件.2. 要讨论两个实数根的符号，则可以建立不等式组.方程ax2+bx+c=0中， 有两个实数根的充分必要条件是有两个正实数根的充要条件是(a0包含在之中)有一正一负实数根的充要条件是(a0，0均已包含在内)有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是3. 在较小区间内讨论实数根，则常利用图象来建立不等式组.4. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解，也可借助图象.二、例题例1.已知：方程7x2(k+13)x+k2k2=0的两
2、个实数根x1,x2满足：0x11x20,记作f(0)0；1当x=1时，y0, f(1)0, f(2)0.得不等式组 / 解这个不等式组得 原不等式组解集是2k1；或3k4.答：k的取值范围是2k1；或3k0； 顶点横坐标 1；纵坐标0.得不等式组解这个不等式组得原不等式组解集是6m22. 答：当6m22时，方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1.本题只有一个特殊点，故用了抛物线的顶点横、纵坐标.例3.已知：方程(1m2)x2+2mx1=0的两个实数根都在0到1之间(不包括0和1).求：m的取值范围.解：函数y=(1m2)x2+2mx1的图象可由：它在纵轴上的截距是1；与横轴的两个交点在
3、0到1之间.得知开口是向下的，画出略图如下： 1111从图象分析：a0； f(1)0； 02.本题因抛物线的顶点横坐标，上下都有界，故不用顶点的纵坐标.例4.已知：方程x2+2px+6=0的两个实数根，一根大于1，另一根小于1.求：p的值. 解：根据抛物线y= x2+2px+6的开口向上，它与横轴的两个交点的大致位置，画出略图如下：1根据图象可知：f (1)0； 顶点纵坐标0.得不等式组解这个不等式组，得不等式组解集是p7 . 答(略)本题因顶点横坐标无法定，故只有两个不等式.其实只要f (1)0,x210建立不等式(x11)(,x21)1时，y=a与y=都有2个公共点，就是方程有2个解.例6
4、.求代数式|x+1|+|x1|+|x+2|在2x2区间内的最大值和最小值.解：作函数 y=|x+1|+|x1|+|x+2|的图象.由图象可知：当x=1,y有最小值 3；当x=2时，y有最大值 8.代数式 |x+1|+|x1|+|x+2|有最大值8和最小值 3.三、练习651.一元二次方程k2x2+2(k1)x+1=0有两个实数根的充分必要条件是可列方程组：解得：_2.一元二次方程x2+(m+2)x+m+5=0有一正一负的实数根的充分必要条件是，所以m的取值范围是.3.一元二次方程2x2+4mx+3m1=0有两个负实数根的充分必要条件是，可列方程组：解得：.4.已知一元二次方程（m+3x24mx
5、+2m1=0两个实数根异号且负根的绝对值较大.求m 的值.5.已知一元二次方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根，那么a=，b=_.6.求代数式在3x3区间的最大值和最小值.7.已知方程（a2-1）x2-6(a+1)x+8=0有实数根，试确定a的取值范围.8.k取什么值时，方程x2-11x+k=0两个实数根都大于5？9.若方程x2+(1-2m)x+m2-m=0两个实数根中，一根大于2，另一根小于2.求m 的取值范围.10.已知：方程3x2+(m-1)x+3m+2=0两个实数根中，一根大于3，另一根小于2.求：m的取值范围.11. 已知：m和n都是整数，且方程4x2
6、-2mx+n=0的两个实数根，都在0和1之间（不包括0和1）求：m,和n的值.12.m取什么值时，方程x2-2mx+m2-1=0的两个实数根，都在1和2之间（包括1和2）13.二次函数y=(m2-4)x2+(m2-2m+24)x+6(m-6)的图象与横轴的两个交点的横坐标是两个不同的正整数，试确定m的值.14.k取什么值时，方程k0无解？有3个解？4个解？ 15.方程x2+y2=16和y=x2+4有一公共实数解，那么y的值是（）（A） 只有4（B）7，4（C）0，4（D）y无解，（E）y的所有的值. (提示：x2+y2=16的图象是以原点为圆心，4为半径的圆) 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
