随机过程题库

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1、随机过程综合练习题一、填空题(每空3分)第一章1 . X1,X2, Xn是独立同分布的随机变量，Xi的特征函数为g(t),则X1 X2Xn的特征函数是。2 . E E(XY) 。3 . X的特征函数为g(t), Y aX b,则Y的特征函数为 。4 .条件期望E(XY)是 的函数， (是or不是)随机变量。5 . X1,X2, Xn是独立同分布的随机变量，Xi的特征函数为gi(t),则X1 X2 Xn的特征函数是 。6 . n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。弟早7 .宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。8 .在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率为 p(0 p 1),以X(

2、n)记进行到n次试验为止A发生的次数， 则X(n), n 0,1,2, 是 过程。9 .正交增量过程满足的条件是 。10 .正交增量过程的协方差函数CX(s,t) 。弟二早11 . X(t), t 0为具有参数0的齐次泊松过程，其均值函数为 ;方差函数为。12 .设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1, 2,3且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间 的不同到达时间间隔的概率密度是 ,汽车之间的不同到达时刻间隔的 概率密度是。13 . X(t), t 0为具有参数0的齐次泊松过程,P X(t s) X(s) n 。 n 0,

3、1,14 .设X，t0是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n次到达时间 W的数学期望15 .在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司.若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额。16 .到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量.设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在0 , t内到达汽车总站的乘客总数是 (复合or非齐次)泊松过程.17 .设顾客以每分钟 2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min内到达的顾客不超过3人的概率是.第四章18 .无限制随机游动各状态的周期是 。

4、19 .非周期正常返状态称为 。20 .设有独立重复试验序列Xn,n 1。以Xn 1记第n次试验时事件A发生，且PXn 1 p,以Xn 0记第n次试验时事件A不发生，且PXn 0 1 p ,若有nYn Xk,n 1,则Yn,n 1是 链。k 1答案一、填空题n1. gn(t);2 . EX ; 3 . eibtg(at) 4 . Y;是 5 . gi(t)； 6 ,等价i 17 .时间差； 8 .独立增量过程;9. E X&) X(tJ X(t4) X&)0 10 . X (min s, t)11. t; t ; 12 . f (t)1e 1tt 0(123)e ( 1 2 3)t t 01f

5、 (t) 12370 t 00t 013.n!t 1415.240000 16.复合；17 .71 4一 e318 2；19 遍历状态； 20 齐次马尔科夫链；二、判断题（每题 2 分）第一章n1 . gi（t）（i1,2, n）是特征函数， gi（t）不是特征函数。（）i12 n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。 （）3任意随机变量均存在特征函数。（）n4. gi（t）（i1,2, n）是特征函数， gi（t）是特征函数。（）i15设X1 ,X2,X3,X4 是零均值的四维高斯分布随机变量，则有E（X1X2X3X4）E（X1X2）E（X3X4）+E（X1X3）E（X2X4）+E

6、（X1X4）E（X2X3） （）第二章6 严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（）7 独立增量过程是马尔科夫过程。（）8 维纳过程是平稳独立增量过程。（）ATy _*第三章9 非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（）第四章10有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（）11有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。（）12有限马尔科夫链，若有状态k 使 lim pi（kn）0 ，则状态 k 即为正常返的。 （）n13设 i S ，若存在正整数n ，使得pi（in）0, pi（in 1）0, 则 i 非周期。 （）14有限状态空间马氏链必存在常返状态。（）15 i 是正常返周

7、期的充要条件是lim pi（in） 不存在。 （）n16平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（）17有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（）18 i 是正常返周期的充要条件是lim pi（in） 存在。 （）n19若i j ，则有 di d j (20不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态答案、判断题1.X 2.V 3 . V 4 . V 5 . V6.，789.X10. V11. V1216. V17. X18.V13. V14. V15.X19. V20. V1 ( 10 分)(易)设X B(n, p) ，求 X 的特征函数，并利用其求EX 。2 ( 10 分)(

8、中)利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程，X(t)cos t, 出现正面2t, 出现反面出现正面和反面的概率相等，求X(t) 的一维分布函数 F (x,1 / 2) 和 F (x,1) ， X(t) 的二维分布函数F (x1 , x2;1/2,1) 。3 ( 10 分)(易)设有随机过程X (t) A Bt , t 0 ，其中 A 与 B 是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布，求X(t) 的一维和二维分布。尺z 第二章4 (10分)一(易)设随机过程X(t尸Vt+b , tC(0,+ oo), b为常数，V服从正态分布 N(0,1) 的随机变量，求X(t) 的均值函数和相关函数。5 (

9、10 分)(易)已知随机过程X(t) 的均值函数mx(t) 和协方差函数B x(t 1, t 2) ， g(t)为普通函数，令Y(t)= X(t)+ g(t) ，求随机过程Y(t) 的均值函数和协方差函数。6 .(10分)一(中)设X(t),t T是实正交增量过程，T 0, ), X(0) 0,是一服从 标 准 正态 分 布 的 随 机 变 量 ， 若对 任 一 t 0,X(t) 都 与 相 互 独立 ， 求Y(t) X(t) , t 0, ) 的协方差函数。7 ( 10分)(中)设Z(t) X Yt, ，若已知二维随机变量(X ,Y ) 的协方差矩阵为,求Z（t）的协方差函数。8. （10分

10、）一（难）设有随机过程 X（t）, t T和常数a，试以X（t）的相关函数表示随机过程Y（t） X（t a） X（t）, t T的相关函数。AfV* zzfe弟二早9. （10分）一（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加. 在 8时顾客平均到达率为 5人/时，11时到达率达到最高峰 20人/时，从11时到13时，平均 顾客到达率维持不变，为 20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到 17时顾客 到达率为12人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8:309: 30间无顾客到达商店的概率是多少在这段时间内到达商店的顾客数学期望是

11、多少10. （15分）一（难）设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p,且与其它顾客是否购买商品无关，求（0, t）内无人购买商品的概率。11. （15分）一（难）设 X1 和X2 是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程，证明：丫 是具有参数 12的泊松过程。12. （10分）一（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居.即2。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6 , 一户三人的概率为 1/3 ,一户两人的概率为 1/3 , 一户一人的概率为 1/6,并且每户的人口数是相互独立的，求在五 周内移民到该地区人口的数学期望与方差。k13

12、. （ 10分）一（难）在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为pt（k） e , k 0,1,2, k!其中0为常数.如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t内呼叫n次的概率P2t（n）14. （10分）一（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min15. （15分）一（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个.每个流星能以陨石落于地面的概率为，求一个月内落于中国地面陨石数W的EW varW和PW2.16. （10分）一（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程.设 1min

13、内没有车辆通过的概率为，求2min内有多于一辆车通过的概率。17. （10分）一（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4 min18. （15分）一（中）某刊物邮购部白顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年或3年的概率分别为1/2、l /3和1/6,且相互独立.设订一年时，可得 1元手续费；订两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费.以X（t）记在0 , t内得到的总手续费,求EX与var X（t）19. （10分）一（易）设顾客到达商场的速率为2个/min,求（1）在5 min内到达顾客数的平均值；（

14、2）在5min内到达顾客数的方差；（3）在5min内至少有一个顾客到达的概率.20. （10分）一（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均年需要维修一次，后 5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率.21. （15分）一（难）设 X（t）和丫（t 0）是强度分别为X和Y的泊松过程，证明：在X（t）的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y（t）恰好有k个事件发生的概率为kXYP 。X Y X Y第四章22. （10分）一（中）已知随机游动的转移概率矩阵为0.5 0.50P 00.5 0.50.500.5求三步转移概率矩阵 P（3）及当初始分布为PX01 PX020, PX3 1时，经三步转移后处于状态3的概率。23. （15分）一（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中（甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中），以X（n）表示经过n次交换后甲盒中红球数，则 X（n） , n0为齐次马尔可夫链，求（1） 一步转移概率矩阵；（2）证明：X（n） , n0是遍历链；（3）求lim Pj（n）, j0,1,2。n24. （10分）一（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：0.80.10.1PT（0） （0.4