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1、第十五讲 二次函数的综合题及应用【重点考点例析】 考点一：确定二次函数关系式例1 （2013牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标思路分析：（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，-3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x-3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标解：（1）二次函数y=x
2、2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3），解得，二次函数的解析式为y=x2+2x-3；（2）当y=0时，x2+2x-3=0，解得：x1=-3，x2=1；A（1，0），B（-3，0），AB=4，设P（m，n），ABP的面积为10，AB|n|=10，解得：n=5，当n=5时，m2+2m-3=5，解得：m=-4或2，P（-4，5）（2，5）；当n=-5时，m2+2m-3=-5，方程无解，故P（-4，5）（2，5）；点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式对应训练1（2013湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），
3、B（-1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标1解：（1）抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）抛物线的解析式为；y=-（x-3）（x+1），即y=-x2+2x+3，（2）抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，抛物线的顶点坐标为：（1，4）考点二：二次函数与x轴的交点问题例2 （2013苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）Ax1=1，x2=-1Bx1=1，x2=2Cx1=1，x2=0Dx1=1，x2=3思路分析：关于x的一元二次方程x
4、2-3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标解：二次函数的解析式是y=x2-3x+m（m为常数），该抛物线的对称轴是：x=又二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2故选B点评：本题考查了抛物线与x轴的交点解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根对应训练2（2013株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示
5、，则m的值是（）A-8B8C8D62B 考点三：二次函数的实际应用例3 （2013营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80设这种产品每天的销售利润为w元（1）求w与x之间的函数关系式（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？思路分析：（1
6、）根据销售额=销售量销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值解：（1）由题意得出：w=（x-20）y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600，故w与x的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600；（2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，-20，当x=30时，w有最大值w最大值为200答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）
7、2+200=150解得x=25，x2=353528，x2=35不符合题意，应舍去答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元点评：本题考查了二次函数的运用关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题对应训练3（2013武汉）科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度x/-4-20244.5植物每天高度增长量y/mm414949412519.75由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种（1）请
8、你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果3解：（1）选择二次函数，设y=ax2+bx+c（a0），x=-2时，y=49，x=0时，y=49，x=2时，y=41，解得，所以，y关于x的函数关系式为y=-x2-2x+49；不选另外两个函数的理由：点（0，49）不可能在反比例函数图象上，y不是x的反比例函数，点（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直线上，y不是x的一次函
9、数；（2）由（1）得，y=-x2-2x+49=-（x+1）2+50，a=-10，当x=-1时，y有最大值为50，即当温度为-1时，这种作物每天高度增长量最大；（3）10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，平均每天该植物高度增长量超过25mm，当y=25时，-x2-2x+49=25，整理得，x2+2x-24=0，解得x1=-6，x2=4，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在-6x4考点四：二次函数综合性题目例4 （2013自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），
10、tanDBA= （1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由思路分析：（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解如答图2所示，首先求出直线AC与直
11、线x=2的交点F的坐标，从而确定了RtAGF的各个边长；然后证明RtAGFRtQEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标解：（1）如答图1所示，过点D作DEx轴于点E，则DE=3，OE=2tanDBA=，BE=6，OB=BE-OE=4，B（-4，0）点B（-4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx-2（a0）上，解得，抛物线的解析式为：y=x2+x-2（2）抛物线的解析式为：y=x2+x-2，令x=0，得y=-2，C（0，-2），令y=0，得x=-4或1，A（1，0）设点M坐标为（m，n）（m0，n0），如答图1所示，过点M作MFx轴于点F，则MF=-n，OF=-m，BF=4+
12、mS四边形BMCA=SBMF+S梯形MFOC+SAOC=BFMF+（MF+OC）OF+OAOC=（4+m）（-n）+（-n+2）（-m）+12=-2n-m+1 点M（m，n）在抛物线y=x2+x-2上，n=m2+m-2，代入上式得： S四边形BMCA=-m2-4m+5=-（m+2）2+9，当m=-2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9（3）假设存在这样的Q如答图2所示，设直线x=-2与x轴交于点G，与直线AC交于点F设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，-2）代入得：，解得：k=2，b=-2，直线AC解析式为：y=2x-2，令x=-2，得y=-6，F（-2，-6），G
13、F=6在RtAGF中，由勾股定理得：AF=设Q（-2，n），则在RtAGF中，由勾股定理得：OQ=设Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=在RtAGF与RtQEF中，AGF=QEF=90，AFG=QFE，RtAGFRtQEF，即=，化简得：n2-3n-4=0，解得n=4或n=-1存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度第（2）问面积最大值的问题，利用二
14、次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标对应训练4（2013张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由4解：（1）C（0，1），OD=OC，D点坐标为（1，0）设直线CD的解析式为y=kx+b（k0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=-1，直线CD的解析式为：y=-x+1（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a（-2）2+3，解得a=-y=-（x-2）2+3=-x2+2x+1 （3）证明：由题意可知，ECD=45，
