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1、专题复习二十讲第20讲 抛物线一、知识梳理: 1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ():标准方程图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 (0,0)离心率2.抛物线的焦半径、焦点弦的焦半径;的焦半径; 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为2p. AB为抛物线的焦点弦,则 ,=3. 的参数方程为(为参数),的参数方程为(为参数).3.学习要点1.注意抛物线标准方程与的联系及区别.2.抛物线上的点与焦点的连线常转化为该点到准线的距离.二、基础检测:1. 抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( ) A. B. C. D. 0点拨:抛物线的标准方程为,准线方程为,由定义知,点
2、M到准线的距离为1,所以点M的纵坐标是2. 已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且、成等差数列, 则有 ()A B C D. 解析C 由抛物线定义,即: 3. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 ( )A. B. C. D. 解析 设M到准线的距离为,则,当最小时,M点坐标是,选C4. 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;抛物线的通径的长为5;由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_.(要求填写合适条件的序号)解析 用排除法,由抛物线方程
3、y2=10x可排除,从而满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与Y轴的交点,A为抛物线上一点,且,求此抛物线的方程解析 设点是点在准线上的射影,则,由勾股定理知,点A的横坐标为,代入方程得或4,抛物线的方程或6. 若直线经过抛物线的焦点,则实数 解析-17.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( C ) A. B. C. D. 8.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于,则这样的直线( )A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在解析C ,而通径的长为49. 在平面直角坐
4、标系中,若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5,则点P的纵坐标为()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 B 利用抛物线的定义,点P到准线的距离为5,故点P的纵坐标为410. 两个正数a、b的等差中项是,一个等比中项是,且则抛物线的焦点坐标为( ) A B C D解析 D. 11. 如果,是抛物线上的点,它们的横坐标依次为,F是抛物线的焦点,若成等差数列且,则=( )A5 B6 C 7 D9 解析B 根据抛物线的定义,可知(,2,n),成等差数列且,=612.抛物线准线为l,l与x轴相交于点E,过F且倾斜角等于60的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,ABl,垂足为B,则四边形ABE
5、F的面积等于( )A B C D解析 C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H,设,则,四边形ABEF的面积=13.设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为 解析. 过A 作轴于D,令,则即,解得三、典例导悟:14.求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【解题思路】以方程的观点看待问题,并注意开口方向的讨论.解析 (1)设所求的抛物线的方程为或, 过点(-3,2) 抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为 (2)令得,令得, 抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时, ,此时抛物
6、线方程;焦点为(0,-2)时 ,此时抛物线方程. 所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.【名师指引】对开口方向要特别小心,考虑问题要全面15. 已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛物线上的一点()到焦点的距离为5,求的值,并求此抛物线的方程.解 故交点只能在轴的负半轴上或轴的正半轴上(1) 若抛物线的焦点在轴的负半轴上,设抛物线的方程准线方程为 依条件有为所求的方程.将点代入上面的方程得或(舍).(2)若抛物线的焦点在轴的正半轴上,设抛物线的方程为准线方程为依条件有消去并整理得解得或当时;此时所求的方程为;当时,此时所求的方程为16. 已知抛物线(为非零常数)的焦点为,点为抛物线
7、上一个动点,过点且与抛物线相切的直线记为(1)求的坐标;(2)当点在何处时,点到直线的距离最小?解:(1)抛物线方程为 故焦点的坐标为 (2)设 直线的方程是 17. 已知抛物线C的一个焦点为F(,0),对应于这个焦点的准线方程为x=-.(1)写出抛物线C的方程;(2)过F点的直线与曲线C交于A、B两点,O点为坐标原点,求AOB重心G的轨迹方程;(3)点P是抛物线C上的动点,过点P作圆(x-3)2+y2=2的切线,切点分别是M,N.当P点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值.解:(1)抛物线方程为:y2=2x. (4分)(2)当直线不垂直于x轴时,设方程为y=k(x-),代入y2=
8、2x,得:k2x2-(k2+2)x+.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-1)=.设AOB的重心为G(x,y)则,消去k得y2=为所求, (6分)当直线垂直于x轴时,A(,1),B(,-1), (8分)AOB的重心G(,0)也满足上述方程.综合得,所求的轨迹方程为y2=, (9分)(3)设已知圆的圆心为Q(3,0),半径r=,根据圆的性质有:|MN|=2. 当|PQ|2最小时,|MN|取最小值,设P点坐标为(x0,y0),则y=2x0.|PQ|2=(x0-3)2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5,当x0=2,y0=2时,|PQ|2取最小值5,故当P点坐标为(2,2)时,|MN|取最小值. 2