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1、分解质因数【知识定位】分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、 因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问 题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。【知识梳理】1. 质数、合数的定义：问：1的约数有：1;2的约数有：1, 2；3的约数有：1, 3；4的约数有：1, 2, 4；6的约数有：1, 2, 3, 6；7的约数有：1, 7；12 的约数有：1, 2, 3, 4, 6, 12； 从上面各数的约数的个数中我们可以看到：一个自然数的约数的个数有 三种情 况： 只有一个约数的，如1。因此，1不是质数，也不是合数。 只有两个约
2、数的（1和它本身），如2, 3, 7 有两个以上约数的，如4, 6, 12所以，我们将属于第_种情况的，即：除了1 和本身以外，不再有别的 约数，这样的数叫做质数。我们将属于第_种情况的，即：除了1 和本身以外，还有别的约 数，这样的数叫做合数。2. 质因数：如果某个质数是一个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。 我们观察下面这些式子：4=1X2X2；6=1X2X38=1X2X2X2；10=1X2X5；12=1X2X2X3；从上面各数的约数的情况中我们可以看到 一个合数最终总是能被写成质数相乘 的形式，这里，我们就将这些质数叫做这个合数的质因数。例如：18=2X3X3这里的2、3、3都是
3、18的因数，而2和3本身又都是质数，于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。这里需要注意的是： 18也可以写成3与6的乘积，即： 18=3 X 6，无疑3和 6都是18的因数，但3本身是质数，可以称做18的质因数，而6是合数，则不 能称做 6 是 18 的质因数。3. 互质数：两个或几个自然数，当它们的最大公约数是 1 的时候，这两个或几个 数，就叫做互质数（也叫互素数）。例如：5 和 7, 4 和 11, 8 和 9, 7、11 和 15, 12、20 和 35。上述这几组数，它们的最大公约数都是 1，因此，它们都是互质数。在以上两个互质数中,如 7、11 和 15 这三个数,7 和 11
4、是互质数,11 和15 是互质数,7 和 15 也是互质数。这类情况,我们就叫做这三个数“两两互质”。 但12、 20和35这组数中,虽然它们也是互质数,但不是两两互质,因为12和 35是互质数,至于12和20、 20和35都不是互质数。注意：互质的两个数或是几个数,它们本身不一定是质数。如5和7是互质数,它们本身都是质数； 4和11是互质数,其中4并不 是质数；8 和 9 是互质数,但 8 和 9 本身都不是质数。总结：质数是指一个数。譬如说：“2 是质数,11 是质数”等等。质因数虽然也是指一个数,但是它是针对另一个数而说的。譬如说：“5 是35的质因数。”如果离开35,孤立地说：“5是质
5、因数。”则是不妥当的。因此, 质因数具有双重身份：第一必须是个质数；第二必须是另一个数的因数。互质数同质数、质因数都不同,它不是指一个数,而是指除了1 以外,再 没有其他公约数的两个或两个以上的数。由此可见：掌握质数、质因数和互质数这几个术语的概念,其中质数是基础, 这三者之间既有联系,又有区别,要透彻理解和正确区分,才能防止混淆。4. 分解质因数：问：我们能把30用几个质数那个的形式表示出来吗？30=X=XX3023X530352X5| 30 丰 X 3 X 530=3 X 2X5像这样，我们将一个合数分解为两个或两个以上质数相乘的形式的过程，叫做分 解质因数。5分解质因数的方法：短除法用短
6、除法分解质因数及书写格式 把“30”分解质因数二2 L 30用质数2去除3 | 1 5用质数3去除5除到商是质数为止30=2 X3 X5 把每个除数和最后的 商写咸连乘的形式例题精讲【试题来源】【题目】把一合数用几个（ ）的形式表示出来，叫做（ ） 【答案】 质数相乘， 分解质因数【解析】分解质因数的定义【知识点】分解质因数【适用场合】当堂例题【难度系数】1试题来源】题目】写出两个都是质数的连续自然数 答案】2和3解析】 知识点】分解质因数 适用场合】当堂例题 难度系数】1【试题来源】【题目】写出两个既是奇数，又是合数的数。【答案】 9 和 15【解析】奇数：不能被2 整除的数；合数：除了和它
7、本身以外，没有别的约数的 数；【知识点】分解质因数【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】非0 自然数按因数的个数可以分为（ ）、（ ）和（ ）三类。 【答案】1， 质数， 合数【解析】1 只有一个约数；质数：除了1和它本身以外没有别的约数；合数：除 了1 和它本身以外还有别的约数。【知识点】分解质因数【适用场合】当堂例题【难度系数】1试题来源】题目】 判断：（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（ ）（2）偶数都是合数，奇数都是质数。（ ）（3）7 的倍数都是合数。（ ）（4）20 以内最大的质数乘以 10 以内最大的奇数，积是 171。（ ）（5）只有两个约数的数，一定是质
8、数。（ ）（6）两个质数的积，一定是质数。（ ）（7）2 是偶数也是合数。（ ）（8）1是最小的自然数，也是最小的质数。（ ）（9）除2以外，所有的偶数都是合数。（ ）（10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是6。（ ）【答案】XXX J V XXX W解析】（1）1,既不是质数也不是合数；2）2是质数，9是合数；3）7是7的倍数，但7不是合数适质数；4）20以内最大的质数是19，10以内最大的奇数是9，它们的乘积是171；5）质数的定义6）不一定，2*3=6，单6不是质数7）2不是合数，它只有约数1和本身；8）1,既不是质数也不是合数；9）正确；10）最小的自然数是0，最小的质数是2
9、，最小的合数是4，它们的和是6知识点】分解质因数适用场合】当堂例题难度系数】3试题来源】题目】先指出下列各数中的合数，再将它们分解质因数。7， 9， 13， 16， 20， 25， 2925=5X5【答案】9=3X3, 16=2X2X2X2,20=2X2X5,解析】采用短除法分解质因数知识点】分解质因数 适用场合】当堂例题 难度系数】2【试题来源】 【题目】下面各数是由哪些质数相乘得到的。15=（）X（）42=（）X（）X（）66=()X()X()42=(2)X(3)X(7)66=(2)X(3)X(11)26=（）X（）【答案】15=（ 3 ） X （ 5 ）26=（ 2 ） X （ 13 ）
10、【解析】【知识点】分解质因数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1【试题来源】 【题目】两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？ 【答案】这两个质数分别是13和5。【解析】65可以分解质因数为，1 3 X 5，而1 3+15= 18。从“两个质数的积是65 入手。【知识点】分解质因数【适用场合】当堂例题【难度系数】1 【试题来源】【题目】一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这 个数是（ ）。【答案】13和3 1或 37和73或79和97【解析】【知识点】分解质因数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时
11、被3、5整除，这个数最 小是（ ），最大是（）。【答案】375， 735【解析】可以这样想：（1）10以内质数有：2、3、5、7；（2）同时能被3、5整 除，个位上数只能是5；这个三位数各数位之和也必须是3的倍数，所以只能用 3和7。【知识点】分解质因数【适用场合】当堂例题难度系数】3【试题来源】 【题目】有三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积 是210，这三个小朋友的年龄分别是（ ）岁、（ ）岁、（ ）岁。【答案】5,6,7岁【解析】将210分解质因数，210=2X3X5X7,因为210是连续的自然数的乘积, 所以，5X6X7=210.【知识点】分解质因数【适用场合】
12、当堂例题【难度系数】2试题来源】题目】最小的质数是（ ），在一位数中，既是奇数又是合数的数是（ ） 答案】2 , 9解析】1既不是质数，也不是合数；9既是奇数又是一位数的合数。 知识点】分解质因数适用场合】当堂例题难度系数】1【试题来源】【题目】一个数的平方等于324，求这个数【答案】解：把324分解质因数：324= 2X2X3X3X3X3=（2X3X3）X（2X3X3）=18X18答：这个数是18。【解析】【知识点】分解质因数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】ABCXD=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC 是一个三位数。求 ABC 代表什么数
13、？【答案】1673=239X7答：ABC代表239。【解析】解：因为ABCXD=1673, ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数, 然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是 ABC 所代表的数。【知识点】分解质因数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】一块正方形田地，面积是 2304 平方米，这块田地的周长是多少米？【答案】解：2304=2X2X2X2X2X2X2X2X3X3=(2X2X2X2X3)X(2X2X2X2X3)=48X48正方形的边长是48米。这块田地的周长是：48X4=192 (米)答：这块地的周长是192米。【解析】先把 230
14、4 分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。【知识点】分解质因数【适用场合】当堂例题【难度系数】3试题来源】 【题目】有3250 个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每 名小朋友分得的桔子数接近 40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？ 【答案】这个幼儿园有 90名小朋友。【解析】把3240 分解质因数：3240=23X34X5接近40 的数有 36、37、38、39这些数中36=22 X 32，所以只有36是3240的约数。23X34X5(22X32)=2X32X5=90(人)【知识点】分解质因数【适用场合】当堂例题【难度系数】3
15、【试题来源】【题目】105 的约数共有几个？【答案】因为，105=3X5X7, 所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个； 含有两个质数的乘积的约数有3 X 5、3 X 7、5 X 7共3个； 含有三个质数的乘积的约数有3 X 5 X 7共1个。所以，105的约数共有4+3+1=8个。答略。【解析】求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按 一个质数、两个质数、三个质数的乘积 逐一由小到大写出，再求出它的个数 即可。【知识点】分解质因数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】把 15、22、30、35、39、44、52、77、91 这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别
